Контрольные вопросы.

1. Какие звуковые волны могут распространяться в изотропной упругой среде?

2. Перечислить основные положения модели Дебая.

3. Что называется частотой Дебая? От чего зависит частота Дебая?

4. Сформулировать закон Дюлонга и Пти. Объяснить закон Дюлонга и Пти, используя классический закон о равно распределении энергии по степеням свободы.

5. Что называется фононом? Чему равны импульс и энергия фонона?

6. Объяснить почему при низких температурах решеточная теплоемкость стремится к нулю.

Задание №4. Вырожденный электронный газ.

При абсолютном нуле температуры электроны в металле образуют полностью вырожденный ферми-газ. В таком газе электроны распределены с принципом минимума энергии и принципом Паули, согласно которому в одном квантовом состоянии может находится более одного электрона. Поэтому при абсолютном нуле электроны заполняют все состояние с энергиями от наименьшей, равной нулю, до некоторой наибольшей, величина которой определяется числом электронов в металле.

(1)

С учетом двукратного спинового вырождения уровней число квантовых состояний электрона, движущегося в объеме c величиной импульса в интервале между , равно

Электроны заполняют все состояния с импульсами от нуля до граничного значения об этом значении говорят как о радиусе ферми-сферы в импульсивном пространстве.

(2)

Полное число электронов в этих состояниях

откуда для граничного импульса имеем

(3)

(4)

а для граничной энергии, которая называется энергией Ферми, имеем

1. Частица в потенциальном ящике.

1.1. Используя граничное условие для волновой функции электрона на поверхности куба со стороной , найти все волновые функции для первых трех различных по величине уровней энергии. Считать, что внутри куба волновая функция удовлетворяет уравнению Шредингера для свободной частицы:

1.2. Записать выражения для величин энергий каждого уровня.

1.3. Чему равно вырождение каждого уровня, т.е. каково число независимых волновых функций, соответствующих состояниям с одной и той же энергией? При подсчете вырождения пренебречь наличием спина у электрона.

2. Двумерный вырожденный электронный ферми-газ. Для двумерного вырожденного ферми-газа, для которого число квантовых состояний электрона, движущегося по поверхности с абсолютной величиной импульса в интервале между , равно

найти формулы для импульса и энергии Ферми.

3. Одномерный вырожденный электронный ферми-газ. Для одномерного вырожденного электронного ферми-газа, для которого число квантовых состояний электрона, движущегося вдоль отрезка с абсолютной величиной импульса в интервале между , равно

найти формулы для импульса и энергии Ферми.

4. Вырожденный электронный ферми-газ в пленке. Вычислить энергию Ферми вырожденный электронного ферми-газ в тонкой пленке толщиной При подсчете числа состояний на верхней и нижней гранях пленки использовать граничное условие для волновой функции электрона Предполагать, что в плоскости, параллельной поверхности пленки, электроны движутся свободно, образуя двумерный электронный газ.

5. Кинетическая энергия электронного газа. Показать, что при абсолютном нуле температуры кинетическая энергия электронного газа в трехмерном случае

где – число электронов в металле; – энергия Ферми.

6. Давление и модуль всестороннего сжатия электронного газа.

6.1. Вывести формулу, связывающую давление электронного раза на поверхность металла с объемом Воспользоваться формулой, согласно которой при

где энергия электронного газа при Показать, что

6.2. Показать, что модуль всестороннего сжатия электронного газа при равен

6.3. Оценить для лития вклад в модуль , связанный с наличием в пленке электронного газа. Использовать значения для лития. Сравнить полученные для экспериментально измеренного значения

7. Приближение Томаса-Ферми. В приближении Томаса- Ферми концентрация электронов в вырожденном электронном газе связана с электростатическим потенциалом внешнего поля соотношением

где концентрация электронов в области, где энергия Ферми.

7.1. Используя, этот результат, доказать, что внутри металла, на поверхности при имеется заряд с плотностью решение одномерного уравнения Лапласа

имеет вид

где электрическая постоянная; заряд электрона.

7.2. Найти выражение для через невозмущенную скорость Ферми и невозмущенную частоту .

7.3. Оценить величину для натрия, для которого .

8. Поверхностные плазмоны.

8.1. Показать, что вблизи поверхности металла, внутри которого отсутствует плотность заряда, решение уравнения Лапласа

имеет вид

где предполагается, что металл расположен в области полупространства при , откуда нормальная составляющая электрического поля вблизи поверхности имеет вид

где значение нормальной компоненты напряженности электрического поля при

8.2. Из условия непрерывности нормальной составляющей вектора электрического смещения при следует, что

где нормальная компонента электрического смещения при диэлектрическая функция электронного газа в металле; нормальная компонента электрического смещения при . Показать, что из граничного условия для нормальной компоненты вектора электрического смещения следует уравнение Из этого уравнения найти частоту поверхностных плазмонов.

8.3. Из формулы , где поверхностная плотность заряда, вычислить для поверхностной плазменной волны. Качественно нарисовать силовые линии электрического поля, связанного с поверхностной плазменной волной.

9. Отражение электромагнитных волн от поверхности металла.

Комплексный показатель преломления можно записать в виде

где – время свободного пробега электрона.

9.1. Использовать для коэффициента отражения при нормальном падении электромагнитной волны выражение

показать, что при

где удельеая проводимость электронного газа. При получении этой формулы предполагать, что и использовать формулу

9.2. Показать, что при но

9.3. Оценить диэлектрическую проницаемость и показатель преломления металлического натрия для рентгеновских лучей с энергией 10 кэВ. Энергию ионизации электронов считать пренебрежительно малой по сравнению с энергией рентгеновских фотонов, т.е. считать, что в эти экспериментах все, а не только валентные, электроны Na можно рассматривать как свободные. Предположить, что время релаксации бесконечно.