Тема: Однородные уравнения и их решение

I. Основные теоретические положения

Определение. Дифференциальное уравнение

является однородным, если функции и удовлетворяют условию

, (2.1.)

т.е. функции и являются однородными одинакового порядка .

Определение. Дифференциальное уравнение

(2.2.)

так же является однородным, т.е. правая часть представляет собой функцию, зависящую от отношения .

Метод решения однородного уравнения: замена переменной

Суть: отношение обозначается за новую переменную , в результате чего однородное уравнение сводится к УРП.

Алгоритм решения однородного уравнения:

1. Привести уравнение к виду (2.2.), где .

2. Сделать замену:

в (2.2.) и решить.

3. Вернуться к замене.

II. Решить дифференциальное уравнение

Пример 1:

Решение:

1. Выражаем , чтобы определить тип уравнения:

однородное (*)

(данное уравнение не является УРП, т.к. в правой части нет общих множителей в первом и во втором слагаемом).

2. Делаем замену: в (*)

- УРП

заменяем (т.к. )

в левую часть равенства собираем по переменной (т.к. слева вверху ), в правую часть собираем по переменной

интегрируем обе части

3. Возвращаемся к замене :

- общий интеграл.

4. Решаем задачу Коши (находим ):

в общий интеграл

в общий интеграл

.

Пример 2:

Решение:

1. Уравнение дано в дифференциальной форме, поэтому выписываем функции (коэффициент перед ) и (коэффициент перед ) и проверяем для них выполнение условия (2.1.):

однородное

2. Приводим уравнение к виду (2.2.):

чтобы выделить отношение в правой части, числитель и знаменатель дроби разделим на (т.е. на , т.к. )

(*).

2. Делаем замену:

в (*)

- УРП

заменяем (т.к. )

в левую часть равенства собираем по переменной (т.к. слева вверху ), в правую часть собираем по переменной

интегрируем обе части

Найдем значение интеграла :

.

Следовательно, общий интеграл имеет вид

.

3. Возвращаемся к замене :

.

№3

Тема: Линейные уравнения, уравнения Бернулли и их решение

I. Основные теоретические положения

Общий вид	Название	Подстановка
1.	линейное относительно	в уравнение
2.	ур. Бернулли относительно
3.	линейное относительно	в уравнение
4.	ур. Бернулли относительно

Метод решения: метод Бернулли

Суть: общее решение исходного уравнения ищется в виде произведения двух неизвестных функций и , причем, одна из них (как правило, функция ) содержит произвольную постоянную .

Замечание: при нахождении функций и часто используются основные свойства логарифмов:

1.

2.

3.

4.