Тема: Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с
постоянными коэффициентами (метод Лагранжа)
I. Основные теоретические положения
1. Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами
Определение. Дифференциальное уравнение вида
,
(6.1.)
где
- постоянные
коэффициенты (числа), функции
входят в уравнение
в первой степени, не перемножаясь между
собой, называется линейным однородным
дифференциальным уравнением с постоянными
коэффициентами.
Структура
общего решения
однородного
уравнения
(6.1.):
,
где
,
образуют ФСР
(фундаментальную систему решений).
Определение. Характеристическим уравнением для уравнения (6.1.) называется уравнение вида
(6.2.)
(получается из
уравнения (8.1.) заменой производных
на степени
)
Пусть
и
– корни
характеристического уравнения (6.2.).
Если:
1)
и
– действительные и
ФСР:
,
.
(6.3.)
2)
и
– действительные и
ФСР:
,
.
(6.4.)
3)
– комплексно
сопряженные
ФСР:
,
.
(6.5.)
2. Линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами
Определение. Дифференциальное уравнение вида
,
(6.6.)
где
- постоянные
коэффициенты (числа),
,
функции
входят в уравнение
в первой степени, не перемножаясь между
собой, называется линейным неоднородным
дифференциальным уравнением с постоянными
коэффициентами.
Структура
общего решения
неоднородного
уравнения (6.6.):
,
где
общее
решение соответствующего однородного
уравнения;
любое частное
решение неоднородного
уравнения.
Для нахождения общего решения соответствующего однородного уравнения достаточно составить характеристическое уравнение (6.2.) и использовать формулы (6.3.) – (6.5.).
Для нахождения
любого частного решения неоднородного
уравнения
используется метод
Лагранжа (общий метод).
Метод Лагранжа:
ищем в таком же
виде, что и
,
только
и
считаются не числами, а функциями от
,
т.е.
,
где от функций
и
требуют, чтобы они удовлетворяли условию
(6.7.)
Решаем систему
относительно
и
:
подставляем в
записываем
.
II. Решить дифференциальное уравнение
Пример 1:
Решение:
Составляем характеристическое уравнение и находим его корни
,
(1 случай, формула
(6.3.))
ФСР:
.
Пример 2:
Решение:
Составляем характеристическое уравнение и находим его корни
(3 случай,
,
формула (6.5.))
ФСР:
.
Пример 3:
Задача:
1.
:
- характеристическое
уравнение
(2 случай, формула
(6.4.))
ФСР:
2. : частное решение находим методом Лагранжа
а) Составляем систему (6.7.) и находим и :
(*)
Вычтем из первого уравнения системы (*) второе:
Подставив
найденное значение
в первое уравнение системы (*) получим:
.
б) Находим и :
.
Подставляем
и
в
:
3.
Записываем
:
.
№ 7