3.1.3 Непараметрические ранговые методы

Непараметрические ранговые методы – это бурно развивающаяся область математической статистики. История современных непараметрических методов, основанных на рангах, довольно коротка – всего лишь около 40 лет. Ранговые методы выделились в особое направление непараметрической статистики не только вследствие природы исходного материала, но и по идеям его дальнейшего использования. Сегодня этими методами решаются многочисленные задачи анализа экономических, статистических, инженерных, естественнонаучных, социологических, медицинских данных.

Как показали статистические исследования, проведенные за последние 10 – 15 лет, ранговые методы в значительной мере лишены ряда недостатков для работы с малыми выборками, распределение которых неизвестно. Как известно, переход от самих наблюдений к их рангам сопровождается определенной потерей информации. Однако, эти потери не слишком велики. К сожалению, в настоящее время все еще сказывается нехватка специальной литературы по данному вопросу.

В последнее время в прогнозировании и при решении ряда других задач стали широко применяться экспертные оценки. Методы ранговой корреляции в этой области являются едва ли не единственным путем обобщения экспертных оценок.

Теория рангов впервые возникла как ответвление теории слу­чайных процессов. На начальной стадии в рангах чаще всего видели просто удобный аппарат, благодаря которому удается обойтись без из­мерения абсолютной величины переменных и тем самым сэкономить время или усилия. Благодаря использованию рангов можно было из­бежать трудностей, связанных с построением объективной шкалы аб­солютных значений. Позднее статистика рангов смогла завоевать при­знание благодаря своим собственным достоинствам.

Ниже будут рассмотрены наиболее распространенные способы упорядочения изучаемых объектов:

• задача может сводиться просто к упорядочению объектов по месту, которое они занимают в пространстве или во времени. Например, карты были расположены в колоде в некотором порядке, а затем перетасованы. Новое расположение карт также характеризуется определенным порядком, ранжированием. Сравнив его со старым, можно увидеть, насколько тщательно были перетасованы карты. В этой задаче интересно только общее расположение карт в колоде, и нет необходимости упорядочить объекты в соответствии с «возрастанием» или «убыванием» того или иного присущего всем им признака;

• упорядочить объекты можно и по некоторому качеству, для которого не

существует объективной абсолютной шкалы измерения. Можно, например, ранжировать образцы горных пород по твердо­сти, исходя из следующего простого критерия: А тверже Б, если А оставляет царапину на Б, когда они соприкасаются. Если А остав­ляет царапину на Б, а Б — на В, то А будет оставлять царапину на В. Таким образом, прибегнув к ряду сопоставлений, можно с достаточной точностью упорядочить рассматриваемые объекты (если толь­ко набор не включает такие два объекта, которые обладают оди­наковой твердостью). Однако подобный способ не позволяет измерить абсолютную величину твердости горных пород. Всегда можно установить, что А тверже Б. Однако до тех пор, пока не построена та или иная шкала измерения абсолютных величин, нельзя утверждать, что А, скажем, вдвое тверже Б;

• упорядочение может проводиться в соответствии с измеряемой (или

теоретически исчисляемой) величиной некоторого признака. На­пример, можно располагать людей в том или ином порядке в за­висимости от их роста, а города по численности населения. При этом не всегда требуется прибегать к самому процессу измерения: можно «на глаз» построить группу студентов по росту; однако в таких случаях критерий, по которому происходит ранжирование, должен допускать возможность непосредственных сопоставлений;

• можно упорядочивать объекты по некоторому признаку, ве­личину

которого, в принципе, можно измерить, но на практике (или даже теоретически) не удается прибегнуть к такому измерению в силу тех или иных причин. Например, можно упоря­дочить ряд лиц по их интеллектуальным способностям, полагая, что такое качество действительно существует и что можно разместить людей в том или ином порядке в соответствии с интенсивностью этого признака. Этот случай отличается от ситуации, упоминавшейся в пунк­те б), поскольку в данном примере содержательные соображения убеждают в том, что ранжирование возможно, тогда как в ситуации пункта б) просто выдвигается гипотеза относительно возможности подобных измерений .

В практических приложениях методов, основанных на ранжировании, иногда сталкиваются со случаями, когда два или несколько объектов настолько подобны, что не удается отдать предпочтение одному из них. Когда эксперт ранжирует объект на основе субъективных суждений, то это свойство (отсутствие предпочтений) связано с истинной их неразличимостью или неспособностью исследователя найти существенные различия. В этом случае говорят, что такой объект называется связанным.

Например, студентов расположили в соответствии с их достоинствами или экзаменационными баллами. Метод, который принимается для предписания числовых значений рангов связанных объектов, заключается в усреднении рангов, которые они имели бы, если были различимы. Например, если связывают третий и четвертый объекты, то каждому приписывают ранг, равный 3,5, если же связывают объекты от второго до седьмого, то получаемый ранг равен 4,5.

Иногда такой подход называется «методом средних рангов». Когда нет основания для выбора между объектами, то ясно, что в этом случае нужно приписывать всем одинаковые ранги. Преимуществом данного метода является то, что сумма рангов для всех объектов остается точно такой же как и при ранжировании без связей .

В анализе социально – экономических явлений часто приходится прибегать к различным, условным оценкам с помо­щью рангов, а взаимосвязь между отдельными признаками изме­рять с помощью непараметрических коэффициентов связи.

Ранжирование - это процедура упорядочения объектов изу­чения, которая выполняется на основе предпочтения.

Ранг - это порядковый номер значений признака, располо­женных в порядке возрастания или убывания их величин. Если отдельные значения признака имеют одинаковую количествен­ную оценку, то ранг всех этих значений принимается равным средней арифметической от соответствующих номеров мест, которые определяют. Данные ранги называются связными / 22 /.

Среди непараметрических методов оценки тесноты связи наибольшее значение имеют ранговые коэффициенты Спирмена () и Кендалла () .

3.1.3.1 Коэффициент корреляции рангов Спирмена

Этот коэффициент может быть использован для определения тесноты связи как между количественными, так и между качественными признаками при условии, если их зна­чения будут упорядочены или проранжированы по степени убы­вания или возрастания признака.

Коэффициент Спирмена рассчитывается по формуле (3.10) :

(3.10)

где d _i² – квадраты разности рангов;

n – число наблюдений.

Коэффициент Спирмена принимает любые значения в интер­вале [-1 ; +1]. Причем, если связь полная прямая, то _xy = 1, а при полной обратной связи

 _xy = -1. Значимость коэффициента корреляции рангов Спир­мена проверяется на основе t – критерия Стьюдента, который предназначается для проверки гипотезы однородности средних значений в двух нормальных генеральных совокупностях, имеющих одинаковую, хотя и неизвестную дисперсию. Критическая статистика подчиняется распределению Стьюдента с (n₁+n₂ – 2) степенями свободы. Слишком большое значение статистики, т.е. такое, при котором отвергается проверяемая гипотеза однородности, может быть следствием как статистически значимого расхождения выборочных средних. Таким образом, необходимо произвести проверку гипотезы на значимость.

Расчетное значение критерия Стьюдента определяется по формуле (3.11) :

(3.11)

Значение коэффициента корреляции рангов Спирмена считается статистически существенным, если t_p > t_kp при заданном уровне значимости  и k = n – 2 степенями свободы.

3.1.3.2 Ранговый коэффициент корреляции Кендалла

Коэффициент корреляции Кендалла () может также использоваться для измерения взаимосвязи между каче­ственными и количественными признаками, характеризующи­ми однородные объекты и ранжированные по одному принци­пу. Расчет рангового коэффициента Кендалла осуществляется по формуле (3.12) :

(3.12)

где n – число наблюдений;

S – сумма разностей между числом последовательностей первого признака Р и числом инверсий по второму признаку Q. Методика вычисления Р и Q приведена ниже.

Коэффициент Кендалла принимает любые значения в интер­вале [-1 ; +1]. Расчет данного коэффициента выполняется в следующей последовательности:

• значения первого признака ранжируются в порядке возрастания или убы­вания;

• значения второго признака располагаются в порядке, соответствующем значениям первого признака;

• для каждого ранга у определяется число следующих за ним значений

рангов, превышающих его величину. Суммируя таким образом числа, определяют величину Р как меру соответствия последовательностей рангов по х и у. Она учитывается со знаком «плюс»;

• для каждого ранга у определяется число следующих за ним рангов,

меньших его величины. Суммарная величина обознача­ется через Q и фиксируется со знаком «минус»;

• определяется сумма баллов по всем членам ряда.

При проверке значимости  исходят из того, что в случае справедливости нулевой гипотезы об отсутствии корреляционной связи между переменными ( при n больше 10 )  имеет приближенно нормальный закон распределения. Поэтому  статистически значим на уровне , если значение статистики t _набл больше табличного t _1- , где t _набл рассчитывается по формуле (3.13) :

(3.13)

Сравнивая коэффициенты ранговой корреляции Спирмена () и Кендалла (), можно отметить, что хотя вычисление коэффициента Спирмена более трудоемко, данный коэффициент обладает некоторым преимуществом перед коэффициентом Кендалла при исследовании его статистических свойств, и большим удобством его пересчета при добавлении к n статистически обследованным объектам новых, т.е. при удлинении анализируемых ранжировок.

Значения коэффициентов Спирмена и Кендалла тесно связаны между собой. При умеренно больших значениях n (n > 10) и при условии, что абсолютные величины значений этих коэффициентов не слишком близки к единице, их связывает простое приближенное соотношение   1,5* или  = 2/3* _xy .

Ранговые коэффициенты корреляции  и  могут быть использованы и для оценки тесноты связи между обычными количественными переменными, измеряемыми в интервальных шкалах. Достоинство коэффициентов здесь заключается в том, что нахождение этих коэффициентов не требует нормального распределения переменных, линейной связи между ними.

Однако необходимо учитывать, что при переходе от первоначальных значений переменных к их рангам происходит определенная потеря информации. Чем теснее связь, чем меньше корреляционная зависимость между переменными отличается от линейной, тем ближе коэффициент Спирмена к коэффициенту парной корреляции.

3.1.3.3 Коэффициент конкордации (согласованности) рангов Кендалла

В практике статистических исследований встречаются случаи, когда совокупность объектов характеризуется не двумя, а несколькими последовательностями рангов и необходимо установить статистическую связь между несколькими переменными. Такие задачи возникают, например, при анализе экспертных оценок, когда необходимо установить меру их согласованности. В качестве такого измерителя используют коэффициент конкордации (согласованности) рангов Кендалла, определяемый по формуле :

(3.14)

где D – рассчитывается по формуле (3.15);

n – число объектов;

m – число анализируемых порядковых переменных.

(3.15)

где r_ij – расставленные ранги.

В некотором смысле W служит мерой общности суждений группы экспертов. Значения коэффициента конкордации заключены на отрезке [0 ; 1].

Увеличение коэффициента от 0 к 1 означает проявление большей согласованности суждений. Если все эти суждения совпадают, то W = 1.

Проверка значимости коэффициента основана на том, что в случае справедливости нулевой гипотезы об отсутствии корреляционной связи при n > 7 статистика m(n – 1)_*W имеет приближенно  ² – распределение с k = n – 1 степенями свободы. Поэтому коэффициент конкордации значим на уровне , если m (n – 1)W >  ²_{, к} .

При наличии неразличимых объектов по признакам (связанных рангов) формула вычисления коэффициента конкордации несколько меняется . Тогда W определяется по формуле (3.16) :

(3.16)

где Т_j – рассчитывается по формуле (3.17) :

T _j =1/12 * (t _j³ – t _j ) , (3.17)

где t _j – количество связанных рангов по отдельным показателям.

Проверка значимости коэффициента при наличии связанных рангов осуществляется с помощью статистики ² по формуле (3.18) / 19 /:

(3.18)

Заключение об окончательной расстановке рангов при наличии связанных рангов сталкивается с дополнительными проблемами. Предположим, что некоторые три объекта были упорядочены сле­дующим образом, как показано в таблице 3.3 .

Таблица 3.3 – Ранжирование объектов

Эксперт	Объекты
	X	Y	Z
1 2 3 4	7 9 3 5	8 8 7 1	10 6 6 2
Сумма рангов	24	24	24

Сумма рангов всех трех объектов совпадает, таким образом, такой метод упорядочивания не дает кри­терия, с помощью которого можно провести упорядочение. Если допускается наличие связей между рангами, то правомерно полагать, что все объекты имеют одинаковый ранг. Если все же возможность существования связей отвергается, то наиболее логичным представляется следующее решение: предпочтение отдается тому объекту, у которого ранги в наименьшей степени различаются. Так как суммы рангов одинаковы, приведенное выше утверждение эквивалентно та­кому: первое место приписывается объекту с наименьшей суммой квадратов рангов. В примере суммы квадратов рангов для объек­тов X, У, Z соответственно равны 164, 178, 176, так что их можно упо­рядочить следующим образом - X, Z, Y.

Если рассматривать ранг объекта, равный j, как выражение того факта, что

(j – 1) элементов последовательности получили предпочте­ние, то сумма рангов (за вычетом т) характеризует как бы сумму пред­почтений и, следовательно, описанный метод позволяет ранжировать объекты в соответствии с предпочтениями. Если некоторые ранги связаны между собой, и замещение суммы рангов связями не искажает соотношений с другими членами группы, а просто снимает вопрос о соотношении предпочтении внутри связанной группы.

Описанный выше метод позволяет упорядочить объекты в соответствии с предпочтениями даже в тех случаях, когда существуют связи.

Таким образом, коэффициенты ранговой корреляции применяются для оценки тесноты связи между количественными признаками, качественными признаками, значения которых могут быть упорядочены и любыми качественными признаками / 20 /.

В настоящее время теория непараметрической статистики нашла свое практическое применение во многих областях человеческой деятельности таких, как экономика, социология, биология, статистика, математика, инженерия и даже медицина и продолжает успешно внедряться в различные сферы жизнедеятельности человека.

В животноводстве с помощью непараметрической статистики осуществляется:

• оценка влияния отцов на величину комплексного индекса (удой животного и жирность ) у их дочерей;

• определение зависимости того, что у высокоудойной матери родится такая же высоудойная дочь.

В торговле очень часто для продвижения товаров на рынок используют :

• ранжирование экспертами образцов предложенной продукции;

• в результате осуществляется ее оценка по техническому уровню, качеству, конкурентноспособности, годности или браку.

В науке с помощью непараметрических методов осуществляются следующие процедуры:

• рассмотрение заявок на проведение научных работ;

• выявление кандидатов при проведении конкурсов на выделение грантов;

• определение сходства тематики научных работ, оцениваемого экспертами с целью рационального формирования экспертных советов внутри определенной области науки.

В биологии и экологии методами ранговых корреляций исследовано влияние грозовых атмосферных условий на время жизни (время наблюдения) и диаметр шаровых молний. Для анализа было произведено ранжирование шаровых молний по размерам, погодные условия ранжировались по отношению к влажности, коррелирующей с характером заряженности атмосферы, грозовые условия ранжировались по отношению к напряженности электрического поля приземного слоя атмосферы. Проведенный статистический анализ показал, что в условиях увеличения влажности и напряженности электрического поля происходит уменьшение времени жизни и диаметра шаровой молнии.

В психологии очень широко методы непараметрической статистики применяются :

• при выявлении взаимосвязи профессионального самоопределения студентов с чертами характера;

• при получении результатов обработки данных эксперимента, которые показали, что, например, у студентов, выбравших специальность “Психология”, наблюдаются более высокие показатели интеллекта, чем у студентов, выбравших специальность “Иностранный язык”.

Непараметрическая статистика продолжает процветать в настоящее время. Признанный лидер в теории развития непараметрической статистики в мире, Я. Гаек, прекрасно подвел итог происходящему процветанию. Он говорил, что непараметрические методы составляют одно из наиболее успешных направлений современной статистики. Они широко применимы, быстры в исполнении и легко усваиваются. Непараметрическая теория изящна, включает как элементарные, так и весьма продвинутые методы. Два десятилетия интенсивного развития не истощили ее способности стимулировать дальнейшие исследования / 22 /.