§3. Деление с остатком в десятичной системе счисления
Пусть
-x=an∙10n+an-1∙10n-1+…+a0
на однозначное число y. Если an≥y, то делим an на y с остатком:
an=qn∙y+rn, где 0≤rn<y. Но тогда
x=(qny+rn) ∙10+an-1∙10n-1+…+a0,
и потому
x-qny∙10n=10n∙rn+an-1∙10n-1+
+an-1∙10n-2+…+a0=(10∙rn+an-1) ∙10n-1+…+a0.
При этом коэффициент при 10n в правой части равенства меньше, чем y. далее делим на y с остатком двузначное число 10∙rn+an-1. Получаем 10rn+an-1=qn-1y+rn-1, где 0≤rn-1<y и 0≤qn-1<10 (поскольку rn<y). Поэтому
x-y(qn∙10n+qn-1∙10n-1)=
=rn-1∙10n-1+an-2∙10n-2+…+a0,
причем коэффициент rn-1 при 10n-1 в правой части равенства меньше, чем y. Продолжая этот процесс, получим такие числа qn,…, q0, что
x-y(qn∙10n+…+q0)= r0, где 0≤r0<y.
Полагая
q=qn∙10n+…+q0, r=r0,
получаем, что
x=qy+r, 0≤r<y.
Деление с остатком выполнено. Если an<y, то начинаем деление сразу со второго шага. В этом случае
q=qn-1∙10n-1+…+a0.
Теперь рассмотрим процесс деления с остатком многозначного числа
x=an∙10n+…+a0
на многозначное число
y=bm∙10m+…+b0,
причем
x≥y.
Для чисел x и y имеем неравенства
an∙10n≤x<(an+1)∙10n,
bm∙10m≤y<(bm+1)∙10m.
Пусть x=qy+r,где 0≤r<y.Тогда qy≤x≤(q+1) ∙y и потому
q∙bm∙10m≤qy≤x<(an+1)∙10n
и
an∙10n≤x<(q+1)∙y<(q+1)(bm+1)∙10n-m.
Из этих неравенств получаем следующие неравенства для q:
q<
∙10n-m,
q>
∙10n-m.
(1)
Но если q=qn-m∙10n-m+…+q0, то qn-m∙10n-m≤q≤(qn-m+1)∙10n-m.
Поэтому из неравенства (1) вытекает, что
-
<qn-m<
.
(2)
Итак, чтобы найти первую цифру неполного частного q, надо решить неравенство (2) и испробовать каждое из полученных значений qn-m. Испытание состоит в том, что образуют произведение qn-m∙10n-m∙y. Если qn-m –искомое, то должны выполняться неравенства
0≤x-qn-m∙10n-m∙y<10n-n∙y.
Если an<bm,то ≤1 и потому получаем для qn-m единственное значение 0. В этом случае надо вместо неравенства (2) взять соответствующие неравенства для qn-m-1:
-
n-m-1<
,
которые выводятся аналогичным образом. В этом случае первое слагаемое десятичной записи для q имеет вид qn-m-1∙10n-m-1.
Найдя первое слагаемое десятичной записи для q, образуют разность
x-qn-m∙10n-m∙y (или x-qn-m-1∙10n-m-1∙y во втором случае) и применяют тот же процесс к полученной разности. Процесс продолжают до тех пор, пока разность не окажется меньше y. Записывают описанный процесс «уголком»:
4985 23
46 216
38
23
155
138
17
Деление с остатком является общим случаем деления. Если остаток равен 0, то такое деление называется делением нацело и является частным случаем деления с остатком.