§4. Алгоритм деления

Когда речь идет о технике деления чисел, то этот процесс рассматривают как действие деления с остатком: разделить целое неотрицательное число a на натуральное число b – это значит найти такие целые неотрицательные числа q и r, что a=bq+r, причем 0≤r<b.

Выясним сначала, как осуществляется деление на однозначное число. Если на однозначное число делят однозначное или двузначное (не превышающее 89), то используется таблица умножения однозначных чисел. Например, частным чисел 54 и 9 будет число 6, так как 9∙6=54. Если же надо разделить 51 на 9, то находят ближайшее к нему меньшее число, которое делится на 9 – это число 45, и, следовательно, неполным частным при делении 51 на 9 будет число 5. Чтобы найти остаток, надо из 51 вычесть 45: 51-45=6. Таким образом, 51=9∙5+6, т. е. при делении 51 на 9 получается неполное частное 5 и остаток, равный 6. Записать это можно иначе, при помощи деления уголком:

51 9

45 5

6

Будем теперь делить трехзначное число на однозначное, например, 378 на 4 – это значит найти такое неполное частное q и остаток r, что 378q=4q+r причем остаток r должен удовлетворить 0≤r<b, а неполное частное q- условию 4q≤378<4(q+1).

Определим, сколько цифр будет содержаться в записи числа q. Однозначным число q быть не может, так как тогда произведение 4q может быть максимально равно 36 и, значит, не будут выполняться условия, сформулированные выше для r и q. Если число q двузначное, т.е. если 10<4q<100, то тогда 40<4q<400 и, следовательно, 40<378<400, что верно. Значит, частное чисел 378 и 4 – число двузначное.

Чтобы найти цифру десятков частного, умножим последовательно делитель 4 на 20, 30, 40 и т.д. Поскольку 4∙90=360, а 4∙100=400, и 360<378<400, то неполное частное заключено между числами 90 и 100, т.е. q=90+q₀. Но тогда должны выполняться неравенства: 4∙(90+q₀)≤378<4∙(90q+q₀+1), откуда 360+4q₀≤378<360+4(q₀+1) и 4q₀≤18<4(q₀+1). Число q₀ (цифра единиц частного), удовлетворяющее последнему неравенству, можно найти подбором, воспользовавшись таблицей умножения. Получаем, что q₀=4 и, следовательно, неполное частное q=90+4=94. Остаток находится вычитанием: 378-4∙94=2.

Итак, при делении числа 378 на 4 получается неполное частное 94 и остаток 2: 378-4∙94+2.

Описанный процесс является основой деления уголком:

378 4

36 94

18

16

2

Аналогично выполняется деление многозначного числа на многозначное. Разделим, например, 4316 на 52. Выполнить это деление – значит найти такие целые неотрицательные числа q и r, что 4316=52q+r, 0≤r<52, а неполное частное должно удовлетворять неравенству 52q≤4316<52(q+1).

Определим число цифр в частном q. Очевидно, частное заключено между числами 10 и 100 (т.е. q - двузначное число), так как 520<4316<5200. Чтобы найти цифру десятков частного, умножим последовательно делитель 52 на 20, 30, 40, 50 и т.д. Поскольку 52∙80=4160, а 52∙90=4860 и 4160<4316<4680, то неполное частное заключено между числами 80 и 90, т.е. q=80+q₀. Но тогда должны выполняться неравенства:

52∙(80+q₀)≤4316<52∙(80+q₀+1),

4160+52q₀≤4316<4160+52∙(q₀+1),

52q₀≤156<52∙(q₀+1).

Число q₀ (цифру единиц частного), удовлетворяющее последнему неравенству, можно найти подбором: 156=52∙3, т.е. имеем случай, когда остаток равен 0. Следовательно, при делении 4316 на 52 получается частное 83.

Приведенные рассуждения лежат в основе деления уголком:

4316 52

416 83

156

156

0

Обобщение различных случае деление целого неотрицательного числа a на натуральное число b является следующий алгоритм деления уголком.

1. Если a=b, то частное q=1, остаток r=0.

2. Если a>0 и число разрядов в числах a и b одинаково, то частное q находим перебором, последовательно умножая b на 1,2,3,4,5,6,7,8,9 и так как a<10b. Этот перебор можно ускорить, выполнив деление с остатком цифр старших разрядов чисел a и b.

3. Если a>b и число разрядов в числе a больше, чем в числе b, то записываем делимое a и справа от него делитель b, который отделяем от a уголком и ведем поиск частного и остатка в такой последовательности:

1. Выделяем в числе a столько старших разрядов, сколько разрядов в числе b или, если необходимо на один разряд больше, но так, чтобы они образовывали число d₁, больше или равное b. Перебором находим частное q₁ чисел d₁ и b, последовательно умножая b на 1,2,3,4,5,6,7,8,9. Записываем q₁ под уголком (ниже b).

2. Умножаем b на q₁ и записываем произведение под числом a так, чтобы младший разряд числа bq₁ был написан под младшим разрядом выделенного числа d₁.

3. Проводим черту под bq₁ и находим разность r₁=d₁-bq₁.

4. Записываем разность r₁ под числом bq₁, приписываем справа к r₁ старший разряд из неиспользованных разрядов делимого a и сравниваем полученное число d₂ с числом b.

5. Если полученное число d₂ больше или равно b, то относительно него поступаем согласно п.1 или п.2. Частное q₂ записываем после q₁.

6. Если полученное число d₂ меньше b, то приписываем еще столько следующих разрядов, сколько необходимо, чтобы получить первое число d₃, большее или равное b. В этом случае записываем после q₁ такое же число нулей. Затем относительно d₃ поступаем согласно пп. 1,2. Частное q₂ записываем после нулей. Если при использовании младшего разряда числа a окажется, что d₃<b, то тогда частное чисел d₃ и b равно нулю, и этот нуль записывается последним разрядом к частному, а остаток r=d₃.

Учебная деятельность.

В общей теории учения, основы которой, как отмечалось выше, были заложены Я.А. Коменским, И.Г. Песталоцци, А. Диствервегом, в нашей стране - К.Д. Ушинским, П.Ф. Каптеревым, С.Т. Шацким, П.П. Нечаевым, М.Я. Басовым, П.П. Блонским, Л.С. Выготским, а также крупнейшими представителями отчественной и зарубежной педагогической психологии середины XX столетия - Д.Б. Элькониным, В.В. Давыдовым, И. Лингартом, И. Ломпшером и другими учеными, сформировалась собственно психологическая теория учебной деятельности, приоритет в научной разработке которой принадлежит России. Ее разработчики - Д.Б. Эльконин, В.В. Давыдов, А.К. Маркова, П.Я. Гальперин, Н.Ф. Талызина и др.         

  "Учебная деятельность" (УД) - достаточно неоднозначное понятие. Можно выделить три основные трактовки этого понятия, принятые как в психологии, так и в педагогике.           1. Иногда УД рассматривается как синоним научения, учения, обучения.           2. В "классической" советской психологии и педагогике УД определяется как ведущий тип деятельности в младшем школьном возрасте. Она понимается как особая форма социальной активности, проявляющая себя с помощью предметных и познавательных действий.           3. В трактовке направления Д.Б. Эльконина - В.В. Давыдова учебная деятельность - это один из видов деятельности школьников и студентов, направленный на усвоение ими посредством диалогов (полилогов) и дискуссий теоретических знаний и связанных с ними умений и навыков в таких сферах общественного сознания, как наука, искусство, нравственность, право и религия

Формирование универсальных учебных действий.

Одним из требований Федерального государственного образовательного стандарта является формирование универсальных учебных действий.

При решении задач формируются следующие универсальные учебные действия:

1. Познавательные УУД

— осуществлять поиск нужной информации, используя материал учебника и сведения, полученные от учителя, взрослых; — использовать различные способы кодирования условий текстовой задачи (схема, таблица, рисунок, краткая запись, диаграмма); — понимать учебную информацию, представленную в знаково-символической форме; — выполнять под руководством учителя действия анализа, синтеза, обобщения при изучении нового понятия, разборе задачи, при ознакомлении с новым вычислительным приёмом и т. д.; — пересказывать прочитанное или прослушанное (например, условие задачи);

— выполнять элементарную поисковую познавательную деятельность на уроках математики.

2. Коммуникативные УУД

— использовать простые речевые средства для выражения своего мнения; — строить речевое высказывание в устной форме, использовать математическую терминологию; — участвовать в диалоге; слушать и понимать других; — участвовать в беседах и дискуссиях, различных видах деятельности; — взаимодействовать со сверстниками в группе, коллективе на уроках математики; — принимать участие в совместном с одноклассниками решении проблемы (задачи), выполняя различные роли в группе.

3. Регулятивные УУД

— понимать, принимать и сохранять учебную задачу и решать её в сотрудничестве с учителем в коллективной деятельности;  — составлять под руководством учителя план выполнения учебных заданий, проговаривая последовательность выполнения действий; — соотносить выполненное задание с образцом, предложенным учителем; — сравнивать различные варианты решения учебной задачи; под руководством учителя осуществлять поиск разных способов решения учебной задачи; — выполнять план действий и проводить пошаговый контроль его выполнения в сотрудничестве с учителем и одноклассниками; — в сотрудничестве с учителем находить несколько способов решения учебной задачи, выбирать наиболее рациональный.

4. Личностные УУД

— элементарные навыки самооценки и самоконтроля результатов своей учебной деятельности; — основы мотивации учебной деятельности и личностного смысла учения, понимание необходимости расширения знаний; — стремление к активному участию в беседах и дискуссиях, различных видах деятельности; — элементарные умения общения (знание правил общения и их применение).

Общие приёмы решения задач включают несколько этапов. Об этом вы можете прочитать здесь (Приложение 1).

В период начального образования основным показателем развития универсальных учебных действий становится овладение моделированием. Обучение по действующим программам любых учебных предметов предполагает применение разных знаково-символических средств (цифры, буквы, схемы и др.), которые, как правило, не являются специальным объектом усвоения с точки зрения их характеристик как знаковых систем. Использование разных знаково-символических средств для выражения одного и того же содержания выступает способом отделения содержания от формы, что всегда рассматривалось в педагогике и психологии в качестве существенного показателя понимания учащимися задачи. Из разных видов деятельности со знаково-символическими средствами наибольшее применение в обучении имеет моделирование.

Формирование вычислительных навыков умножения и деления В Федеральном государственном образовательном стандарте начального общего образования второго поколения особое место отведено «универсальным учебным действиям». В широком значении термин «универсальные учебные действия» (УУД) означает умение учиться. Изучая математику, младшие школьники получают определённые обобщённые знания и способы действий. УУД обеспечивают усвоение предметных знаний и интеллектуальное развитие учащихся, формируют способность к самостоятельному поиску и усвоению новой информации, новых знаний и способов действий, что составляет основу умения учиться. Приобретенные в начальном курсе математики знания и способы действий необходимы не только для дальнейшего успешного изучения математики и других дисциплин в средней школе, но и для решения практических задач в жизни. Одной из основных целей в курсе математики является формирование системы начальных математических знаний. Именно в начальной школе у детей должны быть сформированы прочные, осознанные вычислительные умения и навыки. Разные авторские программы по математике включают достаточный материал по проблеме формирования навыков вычислений, однако, некоторые вопросы отработки навыка остаются сложными для младших школьников. Формирование прочных вычислительных навыков в условиях развивающего обучения является сложной комплексной задачей, которая заставляет пересмотреть методику организации занятий, приемы и формы работы. Рассмотрим психофизиологический механизм формирования вычислительных навыков. 

^ Физиологический механизм навыка заключается в образовании системы условно-рефлекторных связей. У людей навыки формируются под контролем и при обязательном участии второй сигнальной системы, через которую идет подкрепление при образовании условно - рефлекторных связей – указания учителя на правильность или ошибочность действия, словесное одобрение или порицание, контроль действий и т.д. ^ Физиологическая основа навыка - динамический стереотип. Хорошо выработанный динамический стереотип утрачивает систематическую связь со второй сигнальной системой, которая является основой сознания. Она все больше освобождается от прямого участия в управлении звеньями динамического стереотипа. Управляется стереотипом в целом и вновь включается в управление только при возникновении каких-либо затруднений. Различают двигательные (моторные) и интеллектуальные навыки (или навыки в области умственной работы). Для формирования интеллектуального навыка нужны определенные знания и умения. П.Я. Гальпериным была разработана теория планомерного (поэтапного) формирования знаний, умений и умственных действий, объясняющая такое построение учебной деятельности, при которой за сравнительно короткий срок на основе внешних, предметных действий, организуемым по определенным правилам происходит формирование. Процесс усвоения знаний и формирование действий по П.Я. Гальперину проходит шесть этапов: мотивация (привлечение внимания обучаемого, пробуждение его интереса и желания получить соответствующие знания); уяснение ориентировочной основы действий (ООД); выполнение действий в материальной (материализованной) форме; выполнение действий в плане громкой речи; выполнение действия в плане речи про себя; выполнение действия в плане внутренней речи или уме.

^ ПЕРВЫЙ ЭТАП формирования начинается в 1 классе с подготовительной работы и продолжается во 2 классе. Выполняются упражнения на нахождение суммы одинаковых слагаемых и др. ^ ВТОРОЙ ЭТАП сумма одинаковых слагаемых заменяется умножением. Обратное действие умножению – деление. Зрительный контроль за действиями с наглядностью постепенно переходит в двигательный контроль. ^ ТРЕТИЙ ЭТАП все изученные случаи умножения в пределах 100 объединяются в таблицу. Учащиеся выполняют деление, основываясь на знании таблицы умножения. ^ ЧЕТВЕРТЫЙ, ПЯТЫЙ ЭТАПЫ упражнения в решении выражений и задач на умножение и деление в пределах 100, выполнение действий в плане громкой речи и про себя. ^ ШЕСТОЙ ЭТАП увеличение скорости вычислительных навыков, закрепление индивидуального усвоения знаний таблиц умножения и деления, корректировка. Когда навык сформируется, объяснение свертывается. Учащиеся выполняют вычисления в уме (на уровне внутренней речи). Навык становится автоматизированным. Впоследствии, алгоритм вычисления вспоминается только в самых трудных случаях. На основе сложившегося навыка и знаний свойств умножения (деления) с 1, 10, 0, приемов умножения (деления) суммы на число формируются навыки внетабличного умножения и деления. Успешное формирование вычислительных навыков зависит от многих факторов. Среди них важное значение имеют психологические факторы: произвольность познавательных процессов (восприятия, внимания, воображения, памяти, мышления и речи), наличие у обучаемого необходимых волевых и других качеств личности (целеустремленности, сознательности, ответственности и др.)

1.ВОСПРИЯТИЕ У младших школьников самостоятельный анализ наблюдаемого проводится беспорядочно, отсутствуют плановость, системность, слабые попытки отделить существенное от несущественного. Необходимо учить детей выполнять действия (рассматривать) в определенной последовательности, отделять главное, основное от второстепенного. 2. ВНИМАНИЕ В младшем школьном возрасте внимание становиться произвольным, но еще сильно непроизвольное. При формировании вычислительных навыков необходима устойчивость внимания на определенном виде деятельности, а также объем и хорошая переключаемость с одного вида работы на другой. Свои наиболее совершенные черты внимание обнаруживает лишь тогда, когда предмет или деятельность особенно интересны.

3. ПАМЯТЬ Проявляется в запоминании, сохранении и последующем припоминании того, что было воспринято. Как показывают исследования, у детей 6-10 лет активно развивается механическая память. Несколько отстает в своем развитии опосредованная, логическая память. На развитие логической памяти и мышления должны быть направлены системы упражнений. Необходимо развивать у детей долговременную память, которая характеризуется длительностью и прочностью сохранения воспринятой информации. Часто проблему изучения таблицы умножения и соответствующих случаев деления сводят к механическому запоминанию, тратя много сил и времени. Психологами доказано, что такое запоминание – не лучший способ усвоения материала. Больший эффект достигается, во-первых, если понятно зачем нужны эти знания, и, во-вторых, если используется осознанное запоминание и различные приемы активизации мышления. У детей быстро происходит забывание воспринятой информации, если она не подкрепляется специальными упражнениями.

4. МЫШЛЕНИЕ Работа по формированию вычислительных навыков создает широкое поле деятельности для совершенствования мыслительных операций: умений наблюдать и сравнивать, сопоставлять, анализировать, обобщать, а также развивать математическую речь и память. Навыки формируются непосредственно путем упражнений, то есть многократным повторением действий для их сознательного совершенствования. Выполнение большого количества упражнений, конечно, способствует усвоению алгоритма вычислительного приема, но имеет и отрицательный эффект. У детей быстро развивается усталость при работе с числом. Если при выполнении устных вычислений быстро получается результат, то при письменных вычислениях нужно затратить больше сил и времени для получения ответа. Внимание детей рассеивается, пропадает интерес и как следствие – вырастает количество ошибок. Вычислительные навыки успешно формируются при следующих условиях:

1. Достаточной сформированности у детей познавательных процессов восприятия, внимания, памяти, мышления и свойств личности;

2. Оптимальном уровне трудности и доступности учебного материала, соблюдении оптимального темпа (особенно на этапе первичного закрепления);

3. Наличии продуманной системы стимулирования успехов, поддержке интереса к изучаемому, активизации познавательной деятельности;

4. Последовательном, целенаправленном использовании разнообразных форм и приемов работы.

Формирование вычислительных умений и навыков - сложный длительный процесс, его эффективность зависит от индивидуальных особенностей ребенка, уровня его подготовки и организации вычислительной деятельности. На современном этапе развития начального образования необходимо выбирать такие способы организации вычислительной деятельности младших школьников, которые способствуют не только формированию прочных осознанных вычислительных умений и навыков, но и побуждают к самостоятельному поиску новых способов действий, рассмотрению нескольких способов решения задания и оцениванию их с точки зрения рациональности.