5. Дифференциальное уравнение теплопроводности и методы его решения.

При выводе дифференциального уравнения теплопроводности считаем, что тело однородно и изотропно (то есть физические свойства тела не зависят от выбранного в нём направления), физические параметры λ, с(теплоемкость), и ρ (плотность) постоянны, внутренние источники теплоты равномерно распределены в теле. Под внутренними источниками теплоты понимаются тепловыделения, например, в тепловыделяющих элементах атомных реакторов, или при прохождении тока в электрических проводниках. Внутренние источники теплоты характеризуются величиной qv — количеством теплоты, которое выделяется в единице объема в единицу времени.

В основу вывода положен закон сохранения энергии, согласно которому вся теплота, выделенная внутренними источниками dQвн и внесенная извне в элементарный объем путем теплопроводности dQm за время dτ, идет на изменение внутренней энергии вещества, содержащегося в этом объеме: .

Выделим в теле элементарный параллелепипед с ребрами dx, dy, dz. Количество теплоты, которое проходит путем теплопроводности внутрь выделенного объема в направлении оси ОX через элементарную площадку dy·dz за время dτ:

.

На противоположной грани параллелепипеда температура получит приращение и будет составлять .

Количество тепла, отведенного через эту грань: .

Разница количества теплоты, подведенного к элементарному параллелепипеду и отведенного от него, представляет собой теплоту, внесенную путем теплопроводности в направлении оси ОX:

Аналогично: .

Полное количество теплоты внесено в элементарный параллелепипед путем теплопроводности

Здесь произведение dx·dy·dz представляет собой объем элементарного параллелепипеда dv. Количество теплоты, которое выделилось в элементарном объеме за счет внутренних источников: .

Приращение внутренней энергии можно выразить через массу параллелепипеда ρ·dv, теплоемкость с и приращение температуры :

Подставляя выражения для dQm, dQвн и dU в уравнение (9.10), после соответствующих сокращений получаем: .

Сумма вторых частных производных любой функции в математическом анализе носит название оператора Лапласа и обозначается следующим образом: .

Величину называют коэффициентом температуропроводности и обозначают буквой a. В указанных обозначениях уравнение (9.11) примет вид: .

Это уравнение называется дифференциальным уравнением теплопроводности или уравнением Фурье и лежит в основе математической теории теплопроводности. Коэффициент температуропроводности a является физическим параметром вещества. Из уравнения (9.12) следует, что изменение температуры во времени для любой точки тела пропорционально величине a.

6. Вынужденная и естественная конвекция. Факторы, влияющие на интенсивность конвективного теплообмена. Уравнение Ньютона для конвективной теплоотдачи.

Вынужденная конвекция обусловлена внешними по отношению к рассматриваемому процессу причинами, например, действие вентилятора, насоса и т.д.

Свободная конвекция обусловлена самим процессом теплообмена, а именно силами, возникающими в результате неоднородности поля плотности, что в свою очередь связано с неоднородностью поля температур.

Вынужденная конвекция играет основную роль, как правило, в рабочем пространстве, внутри печей.

Свободная конвекция определяется теплоотдачей от внешних ограждений печей в окружающую среду.

Плотность теплового потока существенно зависит от скорости и направления движения жидкости или газа, режима давления, температур поверхностей и жидкости, физических свойств жидкости, от формы и качества поверхности твёрдого тела.

Для описания конвективной теплоотдачи используют формулу Ньютона:

, где

- температурный напор

- коэфф. Теплоотдачи

Перенос теплоты через бесконечно тонкий неподвижный слой может осуществляться за счёт теплопроводности, т.е. описывается законом Фурье:

— вектор плотности теплового потока — количество энергии, проходящей в единицу времени через единицу площади, перпендикулярной каждой оси, — коэффициент теплопроводности (удельная теплопроводность), T — температура. Минус в правой части показывает, что тепловой поток направлен противоположно вектору grad T (то есть в сторону скорейшего убывания температуры).

7. Критерии подобия процессов теплообмена.

Критерий Фурье Является безразмерным временем

В стационарных процессах критерий Фурье не используются, поскольку t-ра не зависит от времени. Поскольку коэф. температуропроводности а – хар-ет интенсивность изменения энтальпии тела, т.е. интенсивность нагрева или охлаждения тела. Критерий Фурье хар-ет связь между скоростью изменения t-ры тела, его физ-ими хар-ками и размерами

Критерий для конвективного теплообмена (Критерий Пекле): Pe=

Где – скорость движения среды [м/с]

Характеризует соотношение переноса теплоты конвекции с теплопроводностью, т.к. в числителе представлена плотность (на единицу площади сечения) теплового потока, переносимого движущейся средой, в знаменателе плотность теплового потока – теплопроводностью.

Критерий Прандтля:

Где 𝞾 – кинематический коэф. вязкости; а – коэф. Температуропроводности

Критерий Прандтля явл. мерой соростных и температурных полей.

Поскольку конвекция обязательно связана с движением, которая может быть вынужденной или свободной в пучки вынужденного движения исп. кр. Рейнольдца. Характеризует вынужденное движение, т.к. представляет собой отношение инерционных сил к силам трения.

W – скорость потока газа или жидкости

d – характерный размер потока

𝞾 – кинематический коэф. вязкости [м²/с]

В случае свободного движения используют критерий Грасгоффа

- коэф. объёмного расширения, который характеризует меру отношения подъёмной силы к силе вязкого трения при свободном движении.

Критерий Нуссельта: , хар-ет связь между интенсивностью теплоотдачи и температурным полем вблизи нагреваемой (охлаждаемой) поверхности. Т.е. хар-ет передачу теплоты от окружающей среды к поверхности материала. По записи кр. Нуссельта схож с кр. Био. Однако кр. Био хар-ет внутреннюю задачу, т.к. рас-ся теплопроводность λ тела, а в кр. Нуссельта фигурирует температура окружающей среды, от которой передаётся теплота к поверхности тела. При конвективной теплоотдаче основной задачей явл. определение коэф. теплоотдачи λ. Поэтому опытные данные обычно обрабатывают в виде критерийных уравнений, а именно

или

При стац. состоянии выпадает кр.Фурье

При стац. вынужденной выпадает кр.Грасгофа

При свободном стац. движении выпадают кр. Фурье и Рейнульдца

Для газов с молекулой состоящих из 4 и более атомов кр. Прандтля будет равен 1. Для вынужденного стац. движения кр. Nu:

Для свободного стац. режима кр.Nu будет равен:

Процессы конвективного теплообмена происходит в результате движения газа (жидкости) и всегда тесно связаны соответственными процессами теплопроводности и диффузии. В зависимости от причины, которой обусловлено движение жидкости (газа) различают вынужденную и свободную конвекции или естественную.