Методические рекомендации по выполнению задания

Построение эпюр продольных сил

Необходимо определить, с помощью какого метода можно исследовать эти внутренние силовые факторы. Например, метод сечений.

Пусть стержень нагружен произвольной системой внешних сил (рис. 1). Под действием данной системы внешних сил стержень находится в равновесии. Внутренние силы, возникающие в стержне, можно выявить, только если рассечь его мысленно на две части.

Проводим произвольное поперечное сечение klmn. Внешние силы стремятся оторвать часть стержня слева. Внутренние силы препятствуют этому.

Отбросим правую часть стержня (рис. 2). На точки сечения оставленной левой части будут действовать внутренние силы. Для сохранения равновесия рассматриваемой левой части необходимо заменить воздействие отброшенной (правой) части на оставленную левую часть системой внутренних сил в сечении.

Заменим всю совокупность внутренних сил в сечении главным вектором и главным моментом путем приведения их к центру тяжести сечения согласно основной теореме статики. Для определения и нужно составить условия равновесия, поэтому в проекциях на оси координат получим шесть условий равновесия. Для этого разложим и на составляющие:

;

+ = 0 + = 0

+ = 0 + = 0 (1)

+ N = 0 + = 0

Составляющие , , , , называются внутренними силовыми факторами.

Здесь , , – суммы проекций всех внешних сил;

, , – суммы проекций внешних моментов;

N – продольная сила;

, - поперечные силы;

- крутящий момент;

, - изгибающие моменты.

Деформированные состояния, при которых возникают данные силовые факторы:

1. растяжение-сжатие (продольные силы );

2. сдвиг (поперечные силы , );

3. кручение (крутящий момент );

4. изгиб (изгибающие моменты , );

5. сложные деформации (несколько усилий, например, изгибающий и крутящий моменты).

Правило знаков для продольной силы: растягивающие продольные силы (направленные от сечения) считаются положительными, сжимающие (направленные к сечению) – отрицательными.

Эпюрой продольной силы называется график, показывающий изменение продольной силы по оси стержня.

Пример 1

Построить эпюру продольных сил для бруса, если:

=F; =2F, =4F.

Решение. Разбиваем брус на участки, начиная со свободного конца. Границами участков являются сечения, в которые приложены внешние силы. Применяя метод сечений, оставляем правую часть (левую отбрасываем) – это позволяет не определять реакцию заделки.

Проводя произвольно сечение а-а на участке I, составляем уравнение равновесия:

= 0 F - = 0

= F (растяжение)

Проводим сечение в-в на участке II:

= - - = F- 2F- = 0

= - F (сжатие)

Проводим сечение с-с на участке III:

= - + - = 0

= F-2F + 4F- = 0

= 3F (растяжение)

Строим эпюру.

Для построения эпюры N проводим ось абсцисс параллельно оси бруса.

Положительные значения откладываем вверх, отрицательные – вниз (рис. 4.1). Эпюра строится в выбранном м а с ш т а б е ! Эпюру следует штриховать! Штриховка строго перпендикулярна оси эпюры !!!

Рис. 4.1

Абсолютная и относительная продольная деформация.

Напряжение – это внутренняя сила, приходящаяся на единицу площади: = .

Единицы измерения напряжения:

1 Па = 1 Н/ м²; 1 МПа = 10 ⁶ Па =1 Н/мм².

Допускаемые напряжения ( и  – нормальные и касательные) – это такие максимальные напряжения, при которых не происходит разрушение данной конкретной детали, и она работает в условиях упругих деформаций.

При растяжении (сжатии) в поперечном сечении стержня = = .

При растяжении нормальные напряжения – положительные, при сжатии – отрицательные.

Обратить внимание, что при растяжении- сжатии возникают только нормальные напряжения.

Изменение длины стержня называют линейной продольной деформацией (абсолютным удлинением); изменение поперечного сечения - линейной поперечной деформацией.

Интенсивность деформирования оценивают деформациями, приходящимися на единицу длинны стержня: относительной продольной и относительной поперечной :

; .

Деформации бывают продольные и поперечные. Отношение поперечной деформации к продольной называется коэффициентом Пуассона .

0,2 0,5.

ЗАКОН ГУКА (открыт в 1660):

, (2)

где - абсолютная продольная деформация;

P – осевая внешняя сила;

F – площадь поперечного сечения;

E – модуль продольной упругости (модуль Юнга).

Закон Гука в форме (2) можно преобразовать, учитывая определения внутреннего напряжения ( = ) и относительной деформации ( ):

= E· . (3)

Максимальные напряжения при растяжении (сжатии): = .

Тогда можно сформулировать условия прочности и жесткости при растяжении (сжатии).

Условие прочности: .

Условие жесткости: .

Условие жесткости при растяжении (сжатии) можно записать и в другом виде:

= .

Изучить вопросы: закон Гука для абсолютных деформаций, закон Гука для нормальных напряжений.

Пример 2. Вычислить приращение длины стального стержня ступенчатого сечения, если = 50 см, = 80 см, = 40 см, = 60 см, Е=2· , = 10 , =20 , =200 кг, = 500 кг, = 700 кг (рис. 1). Построить эпюры нормальных напряжений и перемещений.

Решение