1.2. Свойства преобразования Лапласа

Находить изображения, пользуясь только определением изображения, не всегда просто и удобно. Свойства преобразования Лапласа существен­но облегчают задачу нахождения изображений для большого числа раз­нообразных функций, а также задачу отыскания оригиналов по их изо­бражениям.

Линейность

Линейной комбинации оригиналов соответствует такая же линейная комбинация изображений, т. е. если , , и - постоянные числа, то

.

Используя свойства интеграла, находим:

.

Пример 1.4. Найти изображения функций ( - любое число), (const), .

Решение: Пользуясь свойством линейности, формулой(1.3), находим: ,

т.е. . (1.5)

Аналогично получаем формулу: . (1.6)

Далее, , т.е. .

Наконец, ,

т.е. . (1.7)

Аналогично получаем формулу: . (1.8)

Подобие

Если , , то , т. е. умножение аргумента оригинала на положительное число приводит к делению изображения и его аргумента на это число.

По формуле (1.1) имеем:

(так как безразлично, какой буквой обозначена переменная интегрирования).

Например, пусть . Тогда .

Смещение (затухание)

Если , , то , т. е. умножение оригинала на функцию влечет за собой смещение переменной p.

В силу формулы (1.1) имеем: ( ).

Благодаря этому свойству можно расширить таблицу соответствия ме­жду оригиналами и их изображениями:

_(1.9)

_(1.10)

Пример 1.5. Найти оригинал по его изображению .

Решение: Преобразуем данную дробь так, чтобы можно было воспользоваться свойством смещения:

(См. формулы (1.9), (1.10) и свойство линейности.)

Запаздывание

Если , , то , т. е. запаздывание оригинала на положительную величину приводит к умножению изобра­жения оригинала без запаздывания на .

Положив , получим

Поясним термин «запаздывание». Графики функции и имеют одинаковый вид, но график функции сдвинут на единиц вправо (см. рис. 93). Следовательно, функции и описывают один и тот же процесс, но процесс, описываемый функцией , начи­нается с опозданием на время .

Свойство запаздывания удобно применять при отыскании изображе­ния функций, которые на разных участках задаются различными анали­тическими выражениями; функций, описывающих импульсные процессы.

Функция называется обобщённой единичной функцией (см. рис 94).

Так как , то .

Запаздывающую функцию можно записать так: .

Пример 1.6. Найти изображение .

Решение: Для того чтобы быть оригиналом, функция должна удо­влетворять условиям 1-3 (см. п. 32.1). В этом смысле исходную задачу можно понимать двояко.

Если понимать функцию как т.е. (см. рис. 95, а), то, зная, что (см. формулу (32.4)), и, используя свойство линейности, находим:

.

Если же понимать функцию как

т.е. (см. рис. 95,б), то, используя свойство запаздывания, находим:

.

Пример 1.7. Найти изображение функции

Решение: Данная функция описывает единичный импульс (см. рис. 96), который можно рассматривать как разность двух оригиналов: единич­ной функции и обобщенной единичной функции . Поэтому

Пример 1.8. Найти изображение функции

Решение: Функция-оригинал изображена на рис. 97. Запишем ее одним аналитическим выражением, используя функции Хевисайда и :

,

т.е.

.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

.

Изображение функции будет равно:

.

Замечания.

1. Изображение периодического оригинала с периодом, равным Т, есть:

.

2. Свойство опережения применяется значительно реже.

Дифференцирование оригинала

Если и функции , , …, являются оригиналами, то

(1.11)

(1.12)

(1.13)

………………………,

(1.14)

По определению изображения находим:

.

Итак, . Пользуясь полученным результатом, найдём изображение второй производной :

Аналогично найдем изображение третьей производной :

Применяя формулу (1.11) (n-1) раз, получим формулу (1.14).

Замечание. Формулы (1.11)-(1.14) просто выглядят при нулевых на­чальных условиях: если , то ; если , то , и, наконец, если , то , т. е. дифференцированию оригинала соответствует умножение его изображения на p.

Рассмотренное свойство дифференцирования оригинала вместе со свойством линейности широко используется при решении линейных диф­ференциальных уравнений.

Пример 1.9. Найти изображение функции ,

если .

Решение: Пусть . Тогда, согласно формулам (1.11)­ - (1.13), имеем:

Следоватетельно,

.

Дифференцирование изображения

Если то

………………………,

……………………...,

т.е. дифференцированию изображения соответствует умножение его ори­гинала на (- ).

Согласно теореме 1.1 существования изображения, является ана­литической функцией в полуплоскости . Следовательно, у нее существует производная, любого порядка. Дифференцируя интеграл (1.1) по параметру p (обоснование законности этой операции опустим), получим:

,

т.е. . Тогда

и вообще

Пример 1.10. Найти изображение функции ( ),

Решение: Так как , то, в силу свойства дифференцирования изо­бражения, имеем , т. е. .

Далее находим , т.е. . Продолжая диффиринцирование, получим:

С учётом свойства смещения получаем:

Согласно формуле (32.5), . Следовательно, т.е. или (1.15)

Аналогично, используя формулы (32.6), (32.7) и (32.8), находим

(1.16)

С учетом свойства смещения и формул (1.15) и (1.16), получаем

Интегрирование оригинала

Если , то , т. е. интегрированию оригинала от 0 до соответствует деление его изображения на p.

Функция является оригиналом (можно проверить). Пусть . Тогда по свойству дифференцирования оригинала име­ем: (так как )

А так как , то . Отсюда , т.е.

.

Интегрирование изображения

Если и интеграл сходится, то , т. е. интегрированию изображения от до соответствует деление его оригинала на t.

Используя формулу (1.1) и изменяя порядок интегрирования (обосно­вание законности этой операции опускаем), получаем

.

Пример 1.11. Найти изображение функции ; найти изображение интегрального синуса

.

Решение: Так как, , то ,

т.е, . Применяя свойство интегрирования оригинала, получаем

.

Умножение изображений

Если , , то

. (1.17)

Можно показать, что функция является оригина­лом.

Используя преобразование Лапласа (1.1), можно записать

.

Область D интегрирования полученного двукратного интегра­ла определяется условиями (см. рис. 98). Изменяя порядок интегрирования и полагая , получим

.

Интеграл в правой части формулы (1.17) называется сверткой функции и и обозначается символом т.е. .

Можно убедиться (положив ), что свертывание обладает свой­ством переместительности, т. е.

.

Итак, умножение оригиналов равносильно их свертыванию, т. е.

.

Пример 1.11. Найти оригинал функций и .

Решение: Так как , и ,

т.е.

Аналогично получаем

Следствие 1.2. Если и также является оригиналом, то

. (1.18)

Запишем произведение в виде

,

или

.

Первое слагаемое в правой части есть произведение изображений, соот­ветствующих оригиналам ( ) и . Поэтому на основании свойства умножения изображений и линейности можно записать

или .

Формула (1.18) называется формулой Дюамеля.

На основании свойства переместительности свертки формулу Дюамеля можно записать в виде

.

Формулу Дюамеля можно применять, для определения оригиналов по известным изображениям.

Пример 1.13. Найти оригинал, соответствующий изображению .

Решение: Так как и , ,

то на основании формулы Дюамеля (1.18) имеем:

.

Умножение оригиналов

Если , , то ,

где путь интегрирования - вертикальная прямая (см. рис. 99) (примем без доказа­тельства).

Резюме

Рассмотренные свойства преобразования Лапласа представляют со­бой основные правила (аппарат) операционного исчисления. Для удобства пользования перечислим эти свойства.

1. Линейность: .

2, Подобие: ,

3. Смещение: .

4. Запаздывание: , .

5. Дифференцирование оригинала:

………………………………………………

6. Дифференцирование изображения:

…………………………..

7. Интегрирование оригинала: .

8. Интегрирование изображения: .

9. Умножение изображений:

10. Умножение оригиналов: .