2.2. Формула Римана-Меллина

Общий способ определения оригинала по изображению дает обратное преобразование Лапласа (формула обращения Римана-Меллина), имею­щее вид

, (2.5)

где интеграл берется вдоль любой прямой .

При определенных условиях интеграл (33.5) вычисляется по формуле

.

Замечание. На практике отыскание функции-оригинала обычно прово­дят по следующему плану: прежде всего следует по таблице оригиналов и изображений попытаться отыскать для заданного изображения соот­ветствующий ему оригинал; второй путь состоит в том, что функцию стараются представить в виде суммы простейших рациональных дробей, а затем, пользуясь свойством линейности, найти оригинал; наконец, исполь­зовать теоремы разложения, свойство умножения изображений, формулу обращения и т.д.

Пример 2.2. Найти оригинал по его изображению .

Решение: Проще всего поступить так:

(использовали свойство линейности и формулы (1.5) и (1.6)).

Если же использовать теорему 2.2 разложения, то будем иметь: , , , корни знаменателя и и, согласно формуле (2.1),

Пример 2.3. Найти функцию-оригинал, если ее изображение задано как .

Решение: Здесь , , , - простой корень знаменателя, - 3-кратный корень (m = 3). Исполь­зуя формулы (2.1) и (2.3), имеем:

,

т.е. .

Приведём другой способ нахождения . Разобьём дробь на сумму простейших дробей:

. Следовательно, .

Приведём другой способ нахождения . Представим как произведение , и так как

и , то, пользуясь свойством умножения изображений, имеем:

§3. Операционный метод решения линейных

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ

Пусть требуется найти частное решение линейного дифференциально­го уравнения с постоянными коэффициентами

, (3.1)

удовлетворяющее начальным условиям

, , …, , где - заданные числа.

Будем считать, что искомая функция вместе с ее рассматривае­мыми производными и функция являются оригиналами.

Пусть и . Пользуясь свойствами дифференцирования оригинала и линейности, перейдем в уравнении (34.1) от оригиналов к изображениям:

.

Полученное уравнение называют операторным (или уравнением в изо­бражениях). Разрешим его относительно :

,

т. е. , где и - алгебраические многочлены от p степени n и n-1 соответственно.

Из последнего уравнения находим

. (3.2)

Полученное равенство называют операторным решением дифферен­циального уравнения (34.1). Оно имеет более простой вид, если все на­чальные условия равны нулю, т. е. . В этом случае .

Находя оригинал , соответствующий найденному изображе­нию (3.2), получаем, в силу теоремы единственности, частное решение дифференциального уравнения (3.1).

Замечание. Полученное решение во многих случаях оказывается справедливым при всех значениях t (а не только при ).

Пример 3.1. Решить операционным методом дифференциальное уравнение при условиях , .

Решение: Пусть . Тогда ,

, и .

Подставляя эти выражения в дифференциальное уравнение, получаем операторное уравнение:

. Отсюда . Находим . Можно разбить дробь на сумму простейших

( ),

но так как корни знаменателя ( ) простые, то удобно воспользоваться второй теоремой разложения (формула (33.1)), в которой

,

.

Получаем:

.

Пример 3.2. Найти решение уравнения при условии , .

Решение: График данной функции имеет вид, изображенный на рисунке 100. С помощью единичной функции правую часть данного дифференциального урав­нения можно записать одним аналитическим выражением:

Таким образом, имеем

Операторное уравнение, при нулевых начальных условиях имеет вид

.

Отсюда

Так как ,

то по теореме запаздывания находим:

.

Аналогично применяется операционный метод для решения систем ли­нейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Покажем это на конкретном примере.

Пример 3.3. Решить систему дифференциальных уравнений

.

Решение: Пусть ; ; .

Находим, что , , .

Система операторных уравнений принемает вид

Решая эту систему алгебраических уравнений, находим:

Переходя от изображений к оригиналам, получаем искомые решения:

Ответ:

С помощью операционного исчисления можно также находить решения линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициента­ми, уравнений в частных производных, уравнений в конечных разностях (разностных уравнений); производить суммирование рядов; вычислять ин­тегралы. При этом решение этих и других задач значительно упрощается.