Самостоятельная работа №2

Вариант 1

1. Программа состоит из 15000 независимо работающих модулей. Для каждого из них вероятность отказать равна 0.0003. программа зависает, если отказы­вают хотя бы 7 её модулей. Найти вероятность того, что программа зависнет.

Из условия видно, что вероятность наступления интересующего нас события очень мала и испытание повторяется очень много раз, из чего можно заключить, что искомая величина починяется распределению Пуассона. Для этого распределения вероятность того, что событие наступит ровно k раз может быть найдена по формуле . Описанная программа успешно отработает, если откажет от 0 до 6 модулей, соответственно вероятность успешной работы программы может быть выражена как . Интересующая нас вероятность противоположного события может быть найдена как . При этом параметр распределения может быть найден как

. 0,169.

2. Найти математическое ожидание, дисперсию и средне­квадратичное отклонение величины, заданной законом распределения

Xi	-8	-5,8	-2,7	1,6	2,8
pi	0,13	0,15	0,19	0,17	0,36

Из закона распределения видно, что рассматриваемая случайная величина является дискретной. Для такой величины:

математическое ожидание ;

дисперсия ;

среднеквадратическое отклонение .

Для имеющегося распределения

Xi	-8	-5,8	-2,7	1,6	2,8
pi	0,13	0,15	0,19	0,17	0,36	∑
Xipi	-1,04	-0,87	-0,513	0,272	1,008	-1,143
Xi2	64	33,64	7,29	2,56	7,84	∑
Xi2pi	8,32	5,046	1,3851	0,4352	2,8224	18,0087

Получили .

.

.

3. Случайная величина X может принимать следующие значения: -1, 0, 3, 4. Найти вероятности этих значений, если M(X) = 1,9, μ₂ = 3,29,

μ₃ = -2,112.

Известно, что первый начальный момент по сути является математическим ожиданием, т.е. ν₁=M(X)=1,9. Расчетная формула для второго центрального момента имеет вид μ₂=ν₂-ν₁², откуда ν₂=μ₂+ ν₁²=3,29+1,9²=6,9. Расчетная формула для третьего центрального момента имеет вид μ₃=ν₃- 3 ν₂ν₁+2ν ₁³, откуда ν₂= μ₃+ 3 ν₂ν₁-2ν ₁³=-2,112+3*6,9*1,9-2*1,9²=23,5.

Теперь, на основе определения начального момента и математического ожидания и свойства равенства суммы вероятностей дискретного распределения единице, имеем систему уравнений:

Возьмем второе уравнение, прибавим к третьему и вычтем из четвертого, получим:

Вычтем из четвертого уравнения удвоенное третье, получим:

Последовательно находя корни и поставляя в предыдущее уравнение, начиная с четвертого, найдем ответ:

4. Случайная величина X задана в промежутке (1;2) плотностью распределения f(x) = Csin(x/10); вне этого промежутка f (x) = 0. Найти постоянную с, а также математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратичное отклонение величины X. Найти вероятность попадания в интервал [1;1,5].

Из закона распределения видно, что рассматриваемая случайная величина является непрерывной. Для такой величины:

плотность вероятности ;

условие нормировки плотности вероятности ;

математическое ожидание ;

дисперсия ;

среднеквадратическое отклонение

вероятность попадания в заданный интервал [x₁;x₂] .

Найдем нормирующую константу C: . .

Вероятность попадания в заданный интервал .

Математическое ожидание .

Для нахождения дисперсии сперва необходимо найти .

Дисперсия ;

Среднеквадратическое отклонение .

Вариант 2

1. Программа состоит из 18000 независимо работающих модулей. Для каждого из них вероятность отказать равна 0.0005. программа зависает, если отказы­вают хотя бы 5 её модулей. Найти вероятность того, что программа зависнет.

2. Найти математическое ожидание, дисперсию и средне­квадратичное отклонение величины, заданной законом распределения

X 0.5 1.8 2.3 5 12

p 0.15 0.4 0.3 0.1 0.05 .

3. Случайная величина X может принимать следующие значения:

-8, -5, -1, 1. Найти вероятности этих значений, если

M(X) = -2,5, μ₂= 8,25, μ₃= -11,4.

4. Случайная величина X задана функцией F (x) = ln x - 1 в промежутке (e; e²). Найти постоянную опреде­лить математическое ожидание, дисперсию и средне­квадратичное отклонение величины X.

Вариант 3

1. Программа состоит из 1500 независимо работающих модулей. Для каждого из них вероятность отказать равна 0.003. программа зависает, если отказы­вают хотя бы 5 её модулей. Найти вероятность того, что программа зависнет.

2. Найти математическое ожидание, дисперсию и средне­квадратичное отклонение величины, заданной законом распределения

X —1.5 —0.8 0.3 5 5.9

p 0.45 0.23 0.25 0.02 0.05 .

3. Случайная величина X может принимать следующие значения:

-10, -6, -5, 8. Найти вероятности этих значений, если

M(X) = -3,2, μ₂ = 33,36, μ₃ = 240,624.

4. Случайная величина X, задана плотностью вероятности f(x)=C(1+x²) на интервале [-1;1]. Найти константу C, математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратичное отклонение величины X.

Вариант 4

1. Программа состоит из 500 независимо работающих модулей. Для каждого из них вероятность отказать равна 0.005. программа зависает, если отказы­вают хотя бы 8 её модулей. Найти вероятность того, что программа зависнет.

2. Найти математическое ожидание, дисперсию и средне­квадратичное отклонение величины, заданной законом распределения

X —0.1 0.1 0.3 3.3 7.7

p 0.02 0.5 0.03 0.25 0.2 .

3. Случайная величина X может принимать следующие значения:

-6, -5, -4, 10. Найти вероятности этих значений, если

M(X) = -1,7, μ₂ = 34,61, μ₃ = 296,724.

4. Случайная величина задана плотностью вероятности f(x) = С+1/x на интервале [1;2] Найти константу C, математическое ожидание, дисперсию и сред­неквадратичное отклонение.

Вариант 5

1. Программа состоит из 2500 независимо работающих модулей. Для каждого из них вероятность отказать равна 0.0002. программа зависает, если отказы­вают хотя бы 4 её модулей. Найти вероятность того, что программа зависнет.

2. Найти математическое ожидание, дисперсию и средне­квадратичное отклонение величины, заданной законом распределения

X —0.1 0.1 0.3 3.3 7.7

p 0.02 0.5 0.03 0.25 0.2 .

3. Случайная величина X может принимать следующие значения:

-4, 4, 5, 8. Найти вероятности этих значений, если

M(X) = 4,4, μ₂ = 9,84, μ₃ = -49,872.

4. Случайная величина X задана плотностью распределения f (x) =Cx²+3x на интервале [0.5; 1], 0 за его пределами. Найти постоянную C, математическое ожидание, дисперсию и средне­квадратичное отклонение величины X.

Вариант 6

1. Программа состоит из 50000 независимо работающих модулей. Для каждого из них вероятность отказать равна 0.0001. программа зависает, если отказы­вают хотя бы 6 её модулей. Найти вероятность того, что программа зависнет.

2. Найти математическое ожидание, дисперсию и средне­квадратичное отклонение величины, заданной законом распределения

X -0.1 0.1 0.3 3.3 7.7

p 0.2 0.15 0.3 0.1 0.25 .

3. Случайная величина X может принимать следующие значения:

-5, -2, 0, 8. Найти вероятности этих значений, если

M(X) = 0,5, μ₂ = 16,25, μ₃ = 63.

4. Случайная величина X задана в промежутке (-2;3) плотностью распределения f(ж) = сx⁴; вне этого промежутка f(x) = 0. Найти постоянную с, а также математическое ожидание, дисперсию и среднеквад­ратичное отклонение величины X.

Вариант 7

1. Программа состоит из 250 независимо работающих модулей. Для каждого из них вероятность отказать равна 0.02. программа зависает, если отказы­вают хотя бы 6 её модулей. Найти вероятность того, что программа зависнет.

2. Найти математическое ожидание, дисперсию и средне­квадратичное отклонение величины, заданной законом распределения

X 1 1.2 2.3 3.3 6.6

p 0.2 0.35 0.13 0.07 0.25 .

3. Случайная величина X может принимать следующие значения:

-6, -1, 5, 10. Найти вероятности этих значений, если

M(X) = 3,1, μ₂ = 24,29, μ₃ = -27,588.

4. Случайная величина X задана плотностью распреде­ления f(x) = с/x² в промежутке (1,2). Вне этого промежутка f (x) = 0. Найти постоянную с и определить математическое ожидание, дисперсию да средне­квадратичное отклонение величины X.

Вариант 8

1. Программа состоит из 2500 независимо работающих модулей. Для каждого из них вероятность отказать равна 0.001. программа зависает, если отказы­вают хотя бы 9 её модулей. Найти вероятность того, что программа зависнет.

2. Найти математическое ожидание, дисперсию и средне­квадратичное отклонение величины, заданной законом распределения

X 1 1.2 2.3 3.3 6.6

p 0.32 0.23 0.3 0.07 0.08 .

3. Случайная величина X может принимать следующие значения:

-9, -6, 6, 7. Найти вероятности этих значений, если

M(X) = 1,1, μ₂ = 41,89, μ₃ = -122,268.

4. Случайная величина X задана плотностью распределе­ния f (x) = с(x+1/x) в промежутке (2, 4). Вне этого промежутка f(x)=0. Найти постоянную с и опреде­лить математическое ожидание, дисперсию да средне­квадратичное отклонение величины X.

Вариант 9

1. Программа состоит из 1500 независимо работающих модулей. Для каждого из них вероятность отказать равна 0.003. программа зависает, если отказы­вают хотя бы 9 её модулей. Найти вероятность того, что программа зависнет.

2. Найти математическое ожидание, дисперсию и средне­квадратичное отклонение величины, заданной законом распределения

X 0.5 1.8 2.3 5 12

p 0.15 0.4 0.3 0.1 0.05 ^.

3. Случайная величина X может принимать следующие значения:

1, 3, 4, 10. Найти вероятности этих значений, если

M(X) = 4,6, μ₂ = 8,04, μ₃ = 25,512.

4. Случайная величина X, задана плотностью вероятности f(x)=C(1+x²) на интервале [-1;1]. Найти константу C, математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратичное отклонение величины X.

Вариант 10

1. Программа состоит из 17500 независимо работающих модулей. Для каждого из них вероятность отказать равна 0.0004. программа зависает, если отказы­вают хотя бы 5 её модулей. Найти вероятность того, что программа зависнет.

2. Найти математическое ожидание, дисперсию и средне­квадратичное отклонение величины, заданной законом распределения

X -1 -0.2 0.3 2.3 7 _.

p 0.02 0.5 0.03 0.25 0.2 .

3. Случайная величина X может принимать следующие значения:

-7, -6, 0, 7. Найти вероятности этих значений, если

M(X) = -1,1, μ₂= 24,29, μ₃= 50,988.

4. Случайная величина X задана функцией распределения

F(x)= 1 – x₀⁴/x⁴ при x >x₀ (x₀ > 0),

0 при x<x₀

Найти математическое ожидание, дисперсию и средне­квадратичное отклонение величины X.

Вариант 11

1. Программа состоит из 5000 независимо работающих модулей. Для каждого из них вероятность отказать равна 0.002. программа зависает, если отказы­вают хотя бы 9 её модулей. Найти вероятность того, что программа зависнет.

2. Найти математическое ожидание, дисперсию и средне­квадратичное отклонение величины, заданной законом распределения

X 0.1 0.2 0.3 0.7 1.2

p 0.32 0.23 0.3 0.07 0.08 ^.

3. Случайная величина X может принимать следующие значения:

-9, -5, -3, 0. Найти вероятности этих значений, если

M(X) = -3,6, μ₂= 6,24, μ₃= -7,152.

4. Случайная величина X задана функцией распределения

F(x)= 1 – x₀⁵/x⁵ при x >x₀ (x₀ > 0),

0 при x<x₀

Найти математическое ожидание, дисперсию и средне­квадратичное отклонение величины X.

Вариант 12

1. Программа состоит из 600 независимо работающих модулей. Для каждого из них вероятность отказать равна 0.005. программа зависает, если отказы­вают хотя бы 5 её модулей. Найти вероятность того, что программа зависнет.

2. Найти математическое ожидание, дисперсию и средне­квадратичное отклонение величины, заданной законом распределения

X 1 1.2 2.3 3.3 6.6

p 0.2 0.35 0.13 0.07 0.25 ^.

3. Случайная величина X может принимать следующие значения:

-2, 6, 8, 9. Найти вероятности этих значений, если

M(X) = 6,6, μ₂= 9,44, μ₃= -59,808.

4. Случайная величина X задана в промежутке (1;8) плотностью распределения f(x) = cx; вне этого промежутка f (x) = 0. Найти постоянную с, а также математическое ожидание, дисперсию и среднеквад­ратичное отклонение величины X.

Вариант 13

1. Программа состоит из 50000 независимо работающих модулей. Для каждого из них вероятность отказать равна 0.0001. программа зависает, если отказы­вают хотя бы 7 её модулей. Найти вероятность того, что программа зависнет.

2. Найти математическое ожидание, дисперсию и средне­квадратичное отклонение величины, заданной законом распределения

X —0.5 0 1.3 11 12

p 0.15 0.4 0.3 0.1 0.05 .

3. Случайная величина X может принимать следующие значения:

-6, 2, 6, 9. Найти вероятности этих значений, если

M(X) = 4,2, μ₂= 17,76, μ₃= -84,864.

4. Случайная величина X задана плотностью распреде­ления

f(x)=Cx³+0.5 на интервале [0; 0.4]

Найти математическое ожидание, дисперсию и средне­квадратичное отклонение величины X.

Вариант 14

1. Программа состоит из 7500 независимо работающих модулей. Для каждого из них вероятность отказать равна 0.0002. программа зависает, если отказы­вают хотя бы 8 её модулей. Найти вероятность того, что программа зависнет.

2. Найти математическое ожидание, дисперсию и средне­квадратичное отклонение величины, заданной законом распределения

X 1 1.2 2.3 3.3 6.6

p 0.32 0.23 0.3 0.07 0.08 .

3. Случайная величина X может принимать следующие значения:

-10, -8, -1, 4. Найти вероятности этих значений, если

M(X) = -3, μ₂= 23,8, μ₃= 0.

4. Случайная величина X, задана плотностью вероятности f(x)=C(1+x²) на интервале [-1;1]. Найти константу C, математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратичное отклонение величины X.

Вариант 15

1. Программа состоит из 60000 независимо работающих модулей. Для каждого из них вероятность отказать равна 0.0001. программа зависает, если отказы­вают хотя бы 5 её модулей. Найти вероятность того, что программа зависнет.

2. Найти математическое ожидание, дисперсию и средне­квадратичное отклонение величины, заданной законом распределения

X 0.1 0.2 0.3 0.7 1.2

p 0.32 0.23 0.3 0.07 0.08 .

3. Случайная величина X может принимать следующие значения:

0, 4, 6, 10. Найти вероятности этих значений, если

M(X) = 5,6, μ₂= 7,84, μ₃= -1,728.

4. Случайная величина задана плотностью вероятности f(x) = С+x² на интервале [1;1.1]. Найти константу C, математическое ожидание, дисперсию и сред­неквадратичное отклонение.

Вариант 16

1. Программа состоит из 9000 независимо работающих модулей. Для каждого из них вероятность отказать равна 0.0005. программа зависает, если отказы­вают хотя бы 9 её модулей. Найти вероятность того, что программа зависнет.

2. Найти математическое ожидание, дисперсию и средне­квадратичное отклонение величины, заданной законом распределения

X 1 1.2 8 9.6 11.3

p 0.05 0.2 0.15 0.25 0.35 ^.

3. Случайная величина X может принимать следующие значения:

-9, -6, 7, 8. Найти вероятности этих значений, если

M(X) = 1,7, μ₂= 48,41, μ₃= -149,904.

4. Случайная величина X, задана плотностью вероятности f(x)=C(1+x²) на интервале [-0,5;0,5]. Найти константу C, математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратичное отклонение величины X.

Вариант 17

1. Программа состоит из 10000 независимо работающих модулей. Для каждого из них вероятность отказать равна 0.0003. программа зависает, если отказы­вают хотя бы 4 её модуля. Найти вероятность того, что программа зависнет.

2. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратичное отклонение величины, заданной законом распределения

X 0.1 0.2 0.3 0.7 1.2

p 0.25 0.5 0.1 0.1 0.05 ^.

3. Случайная величина X может принимать следующие значения:

-8, 0, 4, 7. Найти вероятности этих значений, если

M(X) = 2,2, μ₂= 17,76, μ₃= -84,864.

4. Случайная величина X задана плотностью распреде­ления f (x) = с(x+3/x) в промежутке (2, 3). Вне этого промежутка f (x) = 0. Найти постоянную с и опреде­лить математическое ожидание, дисперсию да средне­квадратичное отклонение величины X.

Вариант 18

1. Программа состоит из 35000 независимо работающих модулей. Для каждого из них вероятность отказать равна 0.0002. программа зависает, если отказы­вают хотя бы 6 её модулей. Найти вероятность того, что программа зависнет.

2. Найти математическое ожидание, дисперсию и средне­квадратичное отклонение величины, заданной законом распределения

X 0.5 0.8 1.7 7.1 12

p 0.25 0.5 0.1 0.1 0.05 .

3. Случайная величина X может принимать следующие значения:

-9, -8, -7, 6. Найти вероятности этих значений, если

M(X) = -4,9, μ₂= 30,09, μ₃= 239,472.

4. Случайная величина X задана плотностью распределе­ния f (х) = с(3+1/х²) в промежутке (2, 4). Вне этого промежутка f (х) = 0. Найти постоянную с и опреде­лить математическое ожидание, дисперсию да средне­квадратичное отклонение величины X.

Вариант 19

1. Программа состоит из 19000 независимо работающих модулей. Для каждого из них вероятность отказать равна 0.0005. программа зависает, если отказы­вают хотя бы 7 её модулей. Найти вероятность того, что программа зависнет.

2. Найти математическое ожидание, дисперсию и средне­квадратичное отклонение величины, заданной законом распределения

X 0.5 0.8 1.7 7.1 12

p 0.25 0.35 0.2 0.15 0.05 .

3. Случайная величина X может принимать следующие значения:

-9, -3, 2, 6. Найти вероятности этих значений, если

M(X) = 0,2, μ₂= 19,56, μ₃= -46,344.

4. Случайная величина X задана плотностью распреде­ления f (x) = с/x³ в промежутке (1, 2). Вне этого промежутка f (x) = 0. Найти постоянную с и определить математическое ожидание, дисперсию да средне­квадратичное отклонение величины X.

Вариант 20

1. Программа состоит из 18000 независимо работающих модулей. Для каждого из них вероятность отказать равна 0.0005. программа зависает, если отказы­вают хотя бы 6 её модулей. Найти вероятность того, что программа зависнет.

2. Найти математическое ожидание, дисперсию и средне­квадратичное отклонение величины, заданной законом распределения

X -1 -0.2 0.3 2.3 7

p 0.02 0.5 0.03 0.25 0.2 ^.

3. Случайная величина X может принимать следующие значения:

-8, -5, -4, 3. Найти вероятности этих значений, если

M(X) = -3,3, μ₂= 11,21, μ₃= 38,016.

4. Случайная величина X задана функцией распределения

F(x)= 1 – x₀³/x³ при x >x₀ (x₀ > 0),

0 при x<x₀

Найти математическое ожидание, дисперсию и средне­квадратичное отклонение величины X.

Вариант 21

1. Программа состоит из 22500 независимо работающих модулей. Для каждого из них вероятность отказать равна 0.0004. программа зависает, если отказы­вают хотя бы 5 её модулей. Найти вероятность того, что программа зависнет.

2. Найти математическое ожидание, дисперсию и средне­квадратичное отклонение величины, заданной законом распределения

X 0.5 0.8 1.7 7.1 12

p 0.25 0.35 0.2 0.15 0.05 .

3. Случайная величина X может принимать следующие значения:

-2, 1, 4, 8. Найти вероятности этих значений, если

M(X) = 3,3, μ₂= 9,01, μ₃= 2,364.

4. Случайная величина X задана функцией распределе­ния

F(x)= 1 – x₀⁶/x⁶ при x >x₀ (x₀ > 0),

0 при x<x₀

Найти математическое ожидание, дисперсию и средне­квадратичное отклонение величины X.

Вариант 22

1. Программа состоит из 4000 независимо работающих модулей. Для каждого из них вероятность отказать равна 0.001. программа зависает, если отказы­вают хотя бы 8 её модулей. Найти вероятность того, что программа зависнет.

2. Найти математическое ожидание, дисперсию и средне­квадратичное отклонение величины, заданной законом распределения

X —3.5 —0.8 1.7 7.1 12

p 0.25 0.45 0.2 0.05 0.05 ^.

3. Случайная величина X может принимать следующие значения:

-1, 1, 2, 6. Найти вероятности этих значений, если

M(X) = 2,2, μ₂= 4,36, μ₃= 7,176.

4. Случайная величина X задана в промежутке (1;6) плотностью распределения f(х) = сх²; вне этого промежутка f (х) = 0. Найти постоянную с, а также математическое ожидание, дисперсию и среднеквад­ратичное отклонение величины X.

Вариант 23

1. Программа состоит из 6000 независимо работающих модулей. Для каждого из них вероятность отказать равна 0.001. программа зависает, если отказы­вают хотя бы 5 её модулей. Найти вероятность того, что программа зависнет.

2. Найти математическое ожидание, дисперсию и средне­квадратичное отклонение величины, заданной законом распределения

X -3.5 -0.8 1.7 7.1 12

p 0.15 0.4 0.3 0.1 0.05 .

3. Случайная величина X может принимать следующие значения:

-10, -1, 6, 9. Найти вероятности этих значений, если

M(X) = 2,9, μ₂= 32,49, μ₃= -175,152.

4. Случайная величина задана функцией распределения F(x) =x²-1 на интервале (1; 2^1/2)

Найти её математическое ожидание, дисперсию и сред­неквадратичное отклонение.

Вариант 24

1. Программа состоит из 1875 независимо работающих модулей. Для каждого из них вероятность отказать равна 0.004. программа зависает, если отказы­вают хотя бы 6 её модулей. Найти вероятность того, что программа зависнет.

2. Найти математическое ожидание, дисперсию и средне­квадратичное отклонение величины, заданной законом распределения

X -1 -0.2 3 5.6 5.7

p 0.05 0.1 0.15 0.2 0.5 .

3. Случайная величина X может принимать следующие значения:

-7, 2, 4, 5. Найти вероятности этих значений, если

M(X) = 2,5, μ₂= 11,25, μ₃= -81,3.

4. Случайная величина X задана в промежутке (1;4) плотностью распределения f(x) = сx⁵; вне этого промежутка f (x) = 0. Найти постоянную с, а также математическое ожидание, дисперсию и среднеквад­ратичное отклонение величины X.

Вариант 25

1. Программа состоит из 1250 независимо работающих модулей. Для каждого из них вероятность отказать равна 0.004. программа зависает, если отказы­вают хотя бы 6 её модулей. Найти вероятность того, что программа зависнет.

2. Найти математическое ожидание, дисперсию и средне­квадратичное отклонение величины, заданной законом распределения

X —3.5 —0.8 1.7 7.1 12

p 0.15 0.4 0.3 0.1 0.05 .

3. Случайная величина X может принимать следующие значения:

-2, 2, 7, 9. Найти вероятности этих значений, если

M(X) = 5, μ₂= 12,4, μ₃= -26,4.

4. Случайная величина X, задана плотностью вероятности f(x)=C(1+x²) на интервале [-1;1]. Найти константу C, математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратичное отклонение величины X.

Вариант 26

1. Программа состоит из 5000 независимо работающих модулей. Для каждого из них вероятность отказать равна 0.002. программа зависает, если отказы­вают хотя бы 5 её модулей. Найти вероятность того, что программа зависнет.

2. Найти математическое ожидание, дисперсию и средне­квадратичное отклонение величины, заданной законом распределения

X —0.1 0.1 0.3 3.3 7.7

р 0.2 0.15 0.3 0.1 0.25 .

3. Случайная величина X может принимать следующие значения:

-3, 0, 8, 10. Найти вероятности этих значений, если

M(X) = 4,9, μ₂= 22,49, μ₃= -46,152.

4. Случайная величина X задана в промежутке (2;8) плотностью распределения f(х) = сх; вне этого промежутка f (х) = 0. Найти постоянную с, а также математическое ожидание, дисперсию и среднеквад­ратичное отклонение величины X.