2.2. Диск с отверстием
Для диска с центральным отверстием простейшие статические условия на внутренней и внешней поверхностях имеют вид
.
Поставим их в выражение для , получаем:
Далее вычитаем из первого уравнения второе и находим константу :
Находим константу :
Подставляем
найденные константы в выражение для
и
:
Введем новые обозначения
Выражения для напряжений примут вид следующий вид
Потенциальная энергия деформации может быть записана в виде
Для нахождения решения, воспользуемся пакетом «Математика». Получаем следующий ответ:
Преобразуем полученный ответ
Окончательное
выражение для потенциальной энергии
Кинетическая энергия вращения диска определяется в виде
где
момент инерции для полого круглого
цилиндра
.
Отношение потенциальной энергии деформации к кинетической энергии будет иметь вид
.
Т.к. масса диска равна
,
то отношение потенциальной энергии к массе определяется соотношением
,
а отношение кинетической энергии к массе определяется соотношением
.
Напряжение
положительно и достигает наибольшей
величины при
:
.
Напряжение
также положительно при всех значениях
и достигает максимума при
:
.
Всегда
имеет место неравенство
.
Поэтому условие прочности должно быть
записано, например, по I
теории прочности:
,
или в пределе
.
Тогда соотношения для потенциальной энергии деформации, кинетической энергии вращения, их отношения, а также удельной потенциальной и кинетической энергий могут быть записаны в виде:
,
,
. (2)
Таким образом, удельная энергоемкость вращающегося диска с осевым отверстием может быть записана в виде
,
2.3. Сплошной диск
Формулы
для определения напряжений в сплошном
диске
примут вид
В этом случае радиальные перемещения следует искать в виде
Подставляя выражение
для
в уравнение (1), получим:
Соотношения
для напряжений приобретают вид:
Простейшие статические условия на внешней поверхности имеют вид:
,
Используя это условие, определим неизвестную константу :
Подставляем найденную константу в выражение для и :
Используя обозначения, веденные ранее, напряжения можно определять по формуле:
Оба
напряжения положительны и увеличиваются
с приближением к оси диска. На оси диска
(при
)
оба напряжения максимальны и равны
между собой
.
Т.к.
касательные напряжения на любой площадке,
включающей ось симметрии диска
,
равны нулю, то
и
являются главными напряжениями, а в
случае плоского напряженного состояния
.
Тогда для оценки величины напряжений,
при котором будет происходить разрушение
материала, можно использовать условие
прочности по IV
теории. В данном случае оно будет
выглядеть как
Тогда соотношения для потенциальной энергии деформации, кинетической энергии вращения, их отношения, а также удельной потенциальной и кинетической энергий могут быть переписаны в виде:
,
.
,
. (3)
Удельная энергоемкость вращающегося сплошного диска может быть записана в виде
