Сглаживание урожайности зерновых культур в хозяйстве за 1986-2001 гг. Методом скользящей средней

 

Год	Урожайность, ц/га	Пятилетние скользящие суммы	Пятилетние скользящие средние	Четырехлетние скользящие суммы	Четырехлетние скользящие средние (нецентрированные)	Четырехлетние скользящие средние (центрированные)	Пятилетние взвешенные скользящие средние
А	1	2	3	4	5	6	7
1986	9,5	–	–	–	–	–	–
1987	13,7	–	–	–	12,3	–	–
1988	12,1	–	12,5	–	13,2	12,8	12,8
1989	14,0	–	13,7	49,3	13,7	13,5	13,4
1990	13,2	63,5	14,1	53,0	14,6	14,1	14,1
1991	15,6	68,6	14,4	54,9	14,6	14,6	14,7
1992	15,4	70,3	15,2	58,2	15,7	15,1	15,1
1993	14,0	72,2	15,6	58,2	15,6	15,6	15,4
1994	17,6	75,8	14,7	62,6	14,5	15,0	15,6
1995	15,4	78,0	15,1	62,4	15,3	14,9	14,9
1996	10,9	73,5	15,3	57,9	14,7	15,0	14,3
1997	17,5	75,4	15,5	61,4	15,5	15,1	15,2
1998	15,0	76,4	15,2	58,8	16,3	15,8	16,2
1999	18,5	77,3	16,0	61,9	15,65	15,97	16,3
2000	14,2	76,1	–	65,2	–	–	–
2001	14,9	80,1	–	62,6	–	–	–

 

 

динамики в пределах интервала сглаживания осуществляется с использованием уровней, рассчитанных по полиному   = a₀ + a_i ∙ i + а₂ ∙ i² +... (здесь i – порядковый номер уровня в интервале сглаживания). Полином 1-го порядка   = а₀ + a_i ∙ i есть уравнение прямой, следовательно, метод простой скользящей средней является частным случаем метода взвешенной скользящей средней. Коэффициенты полиномов находятся по способу наименьших квадратов (глава 9).

На первом этапе сглаживания по методу взвешенной средней определяются интервал сглаживания и порядок аппроксимирующего полинома – параболы. Считается, что при использовании полиномов высоких степеней и при меньших размерах интервалов сглаживание ряда динамики будет более «гибким».

Центральная ордината параболы принимается за сглаженное значение соответствующего фактическим данным уровня. Поскольку отсчет времени в пределах интервала сглаживания производится от его середины, т.е. (t = i) i = ..., -2, -1, 0, 1, 2, ..., то сглаженное значение уровня равно параметру а₀ подобранной параболы и является соответствующей скользящей средней. Поэтому для сглаживания нет необходимости прибегать к процедуре подбора системы парабол, так как величину а₀ можно получить как взвешенную среднюю из т уровней.

 

Пример. Если в интервал сглаживания входят пять последовательных уровней ряда со сдвигом во времени на один шаг, а выравнивание проводится по полиному 2-го порядка, то коэффициенты полинома находятся из условия

 

 

Решение этой системы относительно а₀ может быть представлено следующим образом:

 

 

Аналогичным путем получим выражения и для других интервалов сглаживания по параболе второго и третьего порядка. Так, например, для

 

 

Согласно приведенным формулам веса симметричны относительно центрального уровня (у_i) и их сумма с учетом общего множителя, вынесенного за скобки, равна 1.

По данным рассмотренного выше примера с урожайностью зерновых получим следующие значения взвешенных скользящих средних для m = 5 (табл. 10.8 графа 7). Пятичленная скользящая средняя показывает, что на протяжении периода с 1986 по 2001 г. наблюдался рост урожайности зерновых культур.

Выбор уравнения тренда, отображающего развитие социально-экономических явлений во времени. Для отображения основной тенденции развития явлений во времени применяются полиномы разной степени, экспоненты, логистические кривые и другие функции.

Полиномы имеют следующий вид:

 

 

где а₀, а₁, а₂,..., a_n – параметры полиномов;

t – условное обозначение времени.

В статистической практике параметры полиномов невысокой степени иногда имеют конкретную интерпретацию характеристик динамического ряда. Так, параметр а₀ трактуется как характеристика средних условий ряда динамики, параметры а₁, а₂, а₃ – изменение ускорения.

В статистике выработано правило выбора степени полинома модели развития, основанное на определении величин конечных разностей уровней динамических рядов. Согласно этому правилу полином 1-й степени (прямая) применяется как модель такого ряда динамики, у которого первые разности (абсолютные приросты) постоянны; полиномы 2-й степени – для отражения ряда динамики с постоянными вторыми разностями (ускорениями); полиномы 3-й степени – с постоянными третьими разностями и т.д.

Для полиноминальных моделей характерно отсутствие прямой связи между абсолютными приростами и приростами уровней рядов динамики.

Предполагаемой функцией, отражающей процесс роста явления, может быть и экспонента   Экспоненты характеризуют прирост, зависящий от величины основания функции.

Отдельные уравнения выражают различные типы динамики.

Монотонное возрастание или убывание процесса характеризуют функции:

• линейная;

• параболическая;

• степенная;

• экспоненциальная простая (показательная) и производная от нее логарифмическая линейная;

• сложная экспоненциальная и производная от нее логарифмическая парабола;

• гиперболическая (главным образом убывающих процессов);

• комбинация их видов.

Для моделирования динамических рядов, проявляющих быстрое развитие в начале ряда и затухающее его развитие к концу, т.е. тех, которые характеризуются стремлением к некоторой предельной величине, применяются логистические функции.

Логистическую функцию часто записывают в следующем виде:

 

 

где С – основание натурального логарифма.

 

Логистическая кривая симметрична относительно точки перегиба и при t = + ∞ стремится к нулю, а при t = + ∞ стремится к некоторой постоянной величине, к которой кривая асимптотически приближается. Если найти вторую производную от   по t и приравнять ее к нулю, то для логистической кривой, выражаемой через местоположение точки перегиба кривой, t = Iga₁ : а₀;   = n : 2.

Тип процессов, характеризующийся наличием экстремальных значений, описывается кривой Гомперца, имеющей следующее уравнение:

 

 

Возможны четыре варианта этой кривой. Для экономистов наибольшее значение имеет кривая, у которой lga₀ < 0 и a₁ < 1. Развитие уровня такой кривой имеет следующие этапы. Если коэффициент а, меньше 1 при отрицательном значении Iga₀, то на первом этапе прирост кривой незначителен. Он медленно увеличивается по мере роста t, но на следующем этапе прирост увеличивается быстрее, а затем, после точки перегиба, начинает уменьшаться, и на подходе к линии асимптоты прирост кривой опять незначителен.

Прологарифмировав функцию Гомперца   получим модифицированную экспоненту. Вводя в модифицированную экспоненту величину, обратную   получим логистическую кривую. Следовательно, логистическая кривая имеет сходство с кривой Гомперца. Различие между ними состоит в том, что изменение во времени первых разностей кривой Гомперца асимметрично, а у логистической кривой их изменение во времени имеет симметричный вид, напоминающий нормальное распределение.

Для выбора уравнения можно воспользоваться формулой стандартной ошибки

 

 

где р – число параметров уравнения.

 

Можно также применить критерий наименьшей суммы квадратов отклонения эмпирических уровней от теоретических

 

 

Из множества возможных уравнений тренда можно выбрать то уравнение, которому соответствует минимальное значение, т.е. критерий наименьших квадратов отклонений, либо использовать формулу средней ошибки аппроксимации:

 

 

Все эти характеристики имеют один и тот же смысл: показывают, как близко аналитическая функция выравнивания огибает все значения исходного ряда. Поэтому, проводя сравнительную оценку моделей тренда, можно использовать лишь одну из перечисленных характеристик. Результаты такой оценки, полученные на основе прочих характеристик, как правило, совпадают. Наиболее часто в качестве меры точности аппроксимации выбирают остаточную дисперсию или остаточное среднее квадратическое отклонение.

Расчет параметров полиномов различными методами. После того как выяснен характер кривой развития, необходимо определить ее параметры. Элементарный метод определения параметров уравнения тренда, описанного полиномом или экспонентой, состоит в решении системы уравнений по известным уровням ряда динамики.

 

Пример. Дан ряд динамики, представленный табл. 10.9. Приняв условные обозначения времени через t и взяв две точки – конечный и начальный уровни, можно построить уравнение прямой по этим двум точкам.

 

Таблица 10.9