Удельный вес воздушных судов, прибывших без опоздания по сравнению с расписанием за 1991-2001 гг. (сглаживание методом конечных разностей)

 

Год	Удельный вес прибытий, % yi	Условное времени t	Разности			Выравненные значения
			∆(1)	∆(2)
1991	91,6	-5	–	–	91,6
1992	91,5	-4	-0,1	–	91,4
1993	91,3	-3	-0,2	-0,1	91,3
1994	91,1	-2	-0,2	0	91,1
1995	91,0	-1	-0,1	0,1	91,0
1996	90,8	0	-0,2	-0,1	90,8
1997	90,6	1	-0,2	0	90,6
1998	90,4	2	-0,2	0	90,4
1999	90,2	3	-0,2	0	90,2
2000	90,0	4	-0,2	0	90,1
2001	89,9	5	-0,1	0,1	89,9
Итого	998,4	0	-1,7	0,0	998,4
Среднее значение	90,76	–	-0,17	–	–

 

Способом конечных разностей получили уравнение, выражающее тенденцию динамики данного в ряде процесса:

 

y_i = 90,76 – 0,17t.

 

Метод наименьших квадратов при расчете параметров полиномов. Этот метод при моделировании рядов динамики можно рассматривать как некоторый прием получения оценки детерминированной компоненты f(t) которая характеризует тренд изучаемого явления.

В экономике часто применяется функция вида:

 

 

Отсюда а₀, а₁, а₂,..., а_p находятся методом наименьших квадратов, сущность которого нам известна из регрессионного анализа.

Согласно этому методу для нахождения параметров полинома р-й степени необходимо решить систему так называемых нормальных уравнений:

 

 

где n – число членов в ряду динамики; t = 1, 2,..., n.

 

Система (10.32), состоящая из р уравнений, содержит в качестве известных величины ∑_y, ∑_yt,..., ∑_yt^p, т.е. суммы наблюдаемых значений уровней динамического ряда, умноженные на показатели времени в степени 0, 1, 2,..., р, и p-неизвестных величин а_i. Решение этой системы относительно а₀, а₁,..., а_p и дает искомые значения параметров.

Системы для расчета параметров полиномов невысоких степеней намного проще. Обозначим последовательные параметры полиномов как a₀, a₁, а₂. Тогда системы нормальных уравнений для оценивания параметров   примут вид:

 

 

Аналогичным путем можно было бы подойти и к системе (10.34). Однако такой путь расчета параметров достаточно трудоемок, если он не выполняется с помощью пакета прикладных программ. Поэтому перейдем к упрощенным приемам расчета параметров, применение которых дает ощутимую экономию труда без какой-либо потери точности результатов.

Упрощенный расчет параметров уравнений заключается в переносе начала координат в середину ряда динамики. В этом случае упрощаются сами нормальные уравнения, кроме того, уменьшаются абсолютные значения величин, участвующих в расчете. В самом деле, если до переноса начала координат t было равно 1, 2, 3,.... n, то после переноса t =... -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,..., если число членов ряда нечетное (табл. 10.10). Когда же число ряда четное (табл. 10.17), то t =..., -5, -3, -1, 1, 3, 5,... Следовательно, ∑_t и все ∑_t^p, у которых p – нечетное число, равны 0. Таким образом, все члены уравнений, содержащие ∑_t с такими степенями, могут быть исключены. Системы нормальных уравнений теперь упрощаются для прямой:

 

 

Решая системы (10.35), (10.36) относительно неизвестных параметров, получим величины параметров соответствующих полиномов.

Параметр a₁ выражает начальную скорость роста, а коэффициент а₂ – постоянную скорость изменения прироста. Если уровень явления растет с ускорением, то величина этого ускорения в среднем за изучаемый период равна 2а₂ единицам.

При сглаживании ряда динамики по экспоненте   для определения параметров применяется метод наименьших квадратов к логарифмам исходных данных. Так, для нахождения параметров экспоненты необходимо решить следующую систему уравнений:

 

 

Экспонента отражает постоянный относительный рост, равный e^a₁ единицам.

 

Пример. Рассмотрим аналитическое выравнивание по прямой ряда динамики урожайности зерновых культур в хозяйстве за 1987-2001 гг.

Исходные данные и расчет параметров уравнения прямой представлены в табл. 10.11.

 

Таблица 10.11