6. Непараметричні критерії. Т-критерій Уайта

При використанні параметричних критеріїв доводиться робити цілий ряд припущень. Наприклад, про те, що вибірки є випадковими; що генеральні сукупності, з яких вони вибрані, мають нормальний розподіл; що дисперсії генеральних сукупностей рівні і т. д. На практиці такі вимоги строго ніколи не виконуються, тому застосування параметричних критеріїв завжди пов'язане з можливістю невірних висновків, якщо порушити певні припущення. В цьому є недолік параметричних критеріїв. Крім того, параметричні критерії значущості застосовують для порівняння даних, які є результатами вимірювання в одиницях метричних шкал (тобто вимірюються різні величини, які мають найменування: метри, секунди, кілограми тощо). Проте в спортивних дослідженнях, а також у дослідженнях масової фізичної культури часто доводиться оперувати даними, вираженими порядковими числами. Наприклад, довільна нумерація гравців футбольної команди, місця, зайняті спортсменами на змаганнях тощо. Такі дані за допомогою параметричних критеріїв порівнювати не можна. Для цього користуються непараметричними критеріями.

Важливу групу непараметричних критеріїв складають рангові критерії. Вони добре розроблені і є досить ефективними. Крім того, вони прості у використанні і не потребують складних математичних обчислень.

Введемо поняття рангу. Якщо розташувати вибіркові дані в порядку зростання або спадання (точніше, в неспадному або незростаючому порядку, оскільки деякі дані можуть повторюватися), то утвориться ранжирувана вибірка. Рангом називається порядковий номер вибіркового значення. Якщо у вибірці є однакові значення варіант, то їхній ранг визначається як середнє арифметичне їх порядкових номерів. Наприклад, нехай є вибірка об'єму n=10, яка після ранжирування має такий вигляд:

№ з/п	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
хі	12	14	15	15	15	16	18	19	19	22

На 3-му, 4-му і 5-му місцях є значення, які співпали, на 8-му і 9-му – також. Знайдемо ранги (R) значень х_і, що стоять на 3-му, 4-му, 5-му місцях, і на 8-му, 9-му місцях: R = (3+4+5):3= 4; R =(8+9):2= 8,5. Отже, вибіркові дані матимуть такі ранги:

R	1	2	4	4	4	6	7	8,5	8,5	10
xі	12	14	15	15	15	16	18	19	19	22

В рангових критеріях точні значення ознак заміняються їхніми рангами, тому інформація про точні значення губиться.

Наведемо як приклад непараметричний критерій Т–Уайта. Він застосовується для перевірки достовірності відмінності розподілів двох рівновеликих чи різновеликих вибірок. Користуються цим критерієм так. Усі варіанти обох порівнюваних сукупностей ранжирують, розташовуючи їх на двох горизонтальних (або вертикальних) лініях, після чого ранги варіантів у кожній вибірці (лінії) сумують. Суми позначають Т_x і Т_y. Якщо порівнювані вибірки не відрізняються, то й суми їхніх рангів мають бути рівними. В іншому випадку суми відрізнятимуться, причому, чим більша відмінність між вибірками, тим більшою буде різниця між сумами рангів. Достовірність цієї різниці визначають за спеціальною таблицею значень критерію Т Уайта для вибраної довірчої імовірності Р=0,95 (або Р=0,99), яка відповідає рівню значущості α=0,05 (або α=0,01). З двох сум рангів Т_x і Т_y вибирають меншу і саме її порівнюють з табличним значенням Т_α. Якщо Т_min ≤ Т_α, то різниця між вибірками достовірна (гіпотеза Н₀ відкидається). В іншому випадку, якщо Т_min > Т_α, відмінність між вибірками вважається статистично недостовірною.

Приклад 2. За даними Прикладу 1 з’ясуємо, чи достовірна відмінність результатів станової сили в групах футболістів і баскетболістів, скориставшись критерієм Уайта. Розмістимо дані обох вибірок на двох лініях: x_і та y_і в порядку зростання. Порядкові номери варіантів проставимо під лініями, відповідно під кожним варіантом.

2 3,5 3,5 6 6 6 9,5 9,5 20 20

Хі 9,8 9,9 9,9 10,1 10,1 10,1 10,2 10,2 10,5 10,5

2 3 4 5 6 7 10 11 21 22

1 9,5 9,5 13 13 13 16 16 16 20 20 20

Уі 9,7 10,2 10,2 10,3 10,3 10,3 10,4 10,4 10,4 10,5 10,5 10,5

1 8 9 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Знайдемо ранги варіантів, як пояснювалося вище, і запишемо їх над кожним варіантом (курсивом). Однакові варіанти мають однакові ранги не залежно від того, на якій лінії вони стоять.

Обчислимо суми рангів по кожній лінії окремо: Т_х=2+3,5×2+6×3+9,5×2+20×2=2+7+18+19+40=86;

Т_у=1+9,5×2+13×3+16×3+20×3=1+19+39+48+60=167.

Меншу суму T_х=86 порівняємо з табличним значенням критерію T_α=85, знайденим у відповідній таблиці при α=0,05 і n₁=10, n₂=12.

Т>Т_α, отже, на основі отриманих експериментальних даних не можна твердити, що відмінність вибірок статистично достовірна.