11) Условия эквивалентности пар сил.

Пары сил, моменты которых равны, эквивалентны. Пары сил называются эквивалентными, если одну из пар можно заменить другой, не нарушая состояния твердого тела.

Это значит, что, не нарушая состояния твердого тела, можно изменять плечо либо силу, сохраняя при этом неизменным момент пары сил.

Система нескольких пар сил на плоскости эквивалента одной паре, момент которой, равен сумме моментов пар.

Для равновесии системы пар сил, лежащих в одной плоскости и приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы сумма моментов данных пар равнялась нулю.

12) Условия равновесия пар сил.

Если на твердое тело действует несколько пар сил, как угодно расположенных в пространстве, то последовательно применяя правило параллелограмма к каждым двум моментам пар сил, можно любое количество пар сил заменить одной эквивалентной парой сил, момент которой равен сумме моментов заданных пар сил.

Теорема. Для равновесия пар сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы момент эквивалентной пары сил равнялся нулю.

Теорема. Для равновесия пар сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма проекций моментов пар сил на каждую из трех координатных осей была равна нулю.

13-14) Произвольную плоскую систему сил составляют силы расположенные в плоскости произвольным образом.

Теорема о параллельном переносе силы. Силу, приложенную к абсолютно твердому телу, можно, не изменяя оказываемого ею действия, переносить из данной точки в любую другую точку тела, прибавляя при этом пару с моментом, равным моменту переносимой силы относительно точки, куда сила переносится.

О – центр приведения

Приведение системы сил к заданному центру.

Основная теорема статики (Пуансо).

Любую произвольную систему сил, действующую на твердое тело, можно в общем случае привести к силе и паре сил. Этот процесс замены системы сил одной силой и одной парой сил называется приведением системы сил к заданному центру.

1 4) Теорема о параллельном переносе силы. Любую силу не меняя ее действия на твердое тело можно перенести параллельно самой себе в произвольную точку присоединения, при этом пару.

F=F`=F``

Получим силу F` и получим пару сил (F,F``).момент пары M(F,F``)=Fd=Fh=M₀(F) (О – центр приведения)

15) Главным вектором системы сил называется вектор, равный векторной сумме этих сил.

Главным моментом системы сил относительно точки О тела, называется вектор, равный векторной сумме моментов всех сил системы относительно этой точки.

Формулы для вычисления модуля и направляющих косинусов

Главного вектора и главного момента

Ф ормулы для вычисления главного вектора и главного момента

16) Условия равновесия плоской системы сил.

На тело действует плоская система сил. Расположим оси Ox и Oy в плоскости действия сил.

или

Для равновесия плоской системы сил, действующих на твердое тело, необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций этих сил на каждую из двух прямоугольных осей координат, расположенных в плоскости действия сил, были равны нулю и сумма моментов этих сил относительно любой точки, находящейся в плоскости действия сил также была равна нулю.

Теорема о трех моментах.

Для равновесия плоской системы сил, действующих на твердое тело, необходимо и достаточно, чтобы суммы моментов этих сил системы относительно трех любых точек, расположенных в плоскости действия сил и не лежащих на одной прямой, были равны нулю.

17) Момент силы относительно точки – это произведение модуля силы на ее плечо.

Плечо – это кратчайшее расстояние от выбранной точки (центра момента) до линии действия пары то есть плечо – это перпендикуляр опущенный из точки на линию действия силы

Вектор момента силы перпендикулярен плоскости в которой расположены сила и точка (центр момента) и направлен таким образом чтобы глядя с его острия видеть вращение против часовой стрелки.

18) Плоская система сил. Все силы этой системы лежат в одной плоскости. Пусть, например, это будет плоскость XAY, где A произвольный центр приведения (рис.31, a).

Плоская система параллельных сил. Силы этой системы лежат в одной плоскости и параллельны друг другу. Пусть, например, они параллельны оси OY (рис.31, b).

Плоская система сходящихся сил. Силы этой системы лежат в одной плоскости и линии их действия пересекаются в одной точке. С этой точкой совместим начало координат (рис. 31, c).

В зависимости от значений главного вектора   и главного момента  возможны следующие случаи приведения плоской системы сил:

1) – система сил находится в равновесии;

2)  – система эквивалентна паре сил с моментом, равным главному моменту системы, который в этом случае не зависит от выбора центра приведения;

3)  – система эквивалентна равнодействующей  , равной и эквивалентной главному вектору системы  , линия действия которой проходит через центр приведения:  , ;

4) – система эквивалентна равнодействующей  , равной главному вектору системы   , ее линия действия проходит на расстоянии  от центра приведения.

Теорема Вариньона (о моменте равнодействующей плоской системы сил). 

Момент равнодействующей плоской системы сил относительно произвольного центра О равен алгебраической сумме моментов всех сил системы относительно этого центра.

Выбирая центр , о котором идет речь в теореме, в качестве нового центра приведения системы сил, состоящей из единственной силы – равнодействующей , и учитывая, что  получи

19) Центр Тяжести - неизменно связанная с твердым телом точка, через которую проходит равнодействующая сил тяжести, действующих на частицы этого тела при любом положении тела в пространстве. У однородного тела, имеющего центр симметрии (круг, шар, куб и т. д.), центр тяжести находится в центре симметрии тела. Положение центра тяжести твердого тела совпадает с положением его центра масс.

Способы определения координат центра тяжести

Исходя из полученных ранее общих формул, можно указать способы определения координат центров тяжести твердых тел:

1 Аналитический (путем интегрирования).

2 Метод симметрии. Если тело имеет плоскость, ось или центр симметрии, то его центр тяжести лежит соответственно в плоскости симметрии, оси симметрии или в центре симметрии.

3 Экспериментальный (метод подвешивания тела).

4 Разбиение. Тело разбивается на конечное число частей, для каждой из которых положение центра тяжести C  и площадь  S известны. Например, проекцию тела на плоскость xOy  (рисунок 1.8) можно представить в виде двух плоских фигур с площадями S₁  и  S₂ (S = S₁ + S₂). Центры тяжести этих фигур находятся в точках  C₁(x₁, y₁) и  C₂(x₂, y₂). Тогда координаты центра тяжести тела равны

Рисунок 1.8

5 Дополнение (метод отрицательных площадей или объемов). Частный случай способа разбиения. Он применяется к телам, имеющим вырезы, если центры тяжести тела без выреза и вырезанной части известны. Например, необходимо найти координаты центра тяжести плоской фигуры (рисунок 1.9):

20) Тре́ние — процесс взаимодействия тел при их относительном движении (смещении) либо при движении тела в газообразной или жидкой среде. По-другому называетсяфрикционным взаимодействием

Трение скольжения — сила, возникающая при поступательном перемещении одного из контактирующих/взаимодействующих тел относительно другого и действующая на это тело в направлении, противоположном направлению скольжения.

Трение качения — момент сил, возникающий при качении одного из двух контактирующих/взаимодействующих тел относительно другого.

Трение покоя — сила, возникающая между двумя контактирующими телами и препятствующая возникновению относительного движения. Эту силу необходимо преодолеть для того, чтобы привести два контактирующих тела в движение друг относительно друга. Возникает при микроперемещениях (например, при деформации) контактирующих тел. Она действует в направлении, противоположном направлению возможного относительного движения.

В простейших случаях сила трения   и нормальная нагрузка (или сила нормальной реакции)   связаны неравенством

обращающимся в равенство только при наличии относительного движения. Это соотношение называется законом Амонтона — Кулона.

Коэффициент трения – безразмерная величина зависящая от материала и физического состояния трущихся поверхностей

Коэффициент трения скольжения — отношение силы трения к нормальной составляющей внешних сил, действующих на поверхности тела.

  

Угол трения это полная реакция поверхности отклонения от нормали к общей касательной плоскости трущихся поверхностей на наибольший угол фи

21) Тре́ние каче́ния — сопротивление движению, возникающее при перекатывании тел друг по другу т.е. сопротивление качению одного тела (катка) по поверхности другого.  коэффициент трения качения может быть определен как отношение момента трения качения   к прижимной силе N:

22) В кинематике точки рассматриваются характеристики движения точки, такие, как скорость и ускорение и методы их определения при различных способах задания движения.

Траектория точки – это линия по которой движется точка.

При решении задач определяется:

- положения точки в данный момент времени в выбранной система отсчета

- скорость и ускорение точки

Существует три способа задания движения точки:

- векторный

- координатный

- естественный

23)

Векторный способ задания движения точки

Вектор скорости направлен по касательной к траектории

Будем рассматривать случай декартовой прямоугольной системы координат. Движение точки относительно рассматриваемой системы отсчета задано, если известен радиус-вектор этой точки как функция времени, т.е.

Векторный способ обычно применяется для теоретического изложения кинематики точки.

24) Координатный способ задания движения точки:

Движение точки можно изучать используя любую систему координат. Рассмотрим случай декартовой прямоугольной системы координат.

Движение точки задано, если известны координаты точки, как непрерывные, дважды дифференцируемые функции времени, т.е.

- уравнения движения

- уравнение траектории точки

Уравнения движения есть также уравнения траектории точки в параметрической форме. Параметром является время t.

2 5) Естественный способ задания движения.При естественном способе задания движения задаются траектория точки и закон движения точки по траектории. Движение точки рассматривается относительно фиксированной системы отсчета.Для задания закона движения точки по траектории необходимо выбрать на траектории точку О, принимаемую за начало отсчета. Кроме того, необходимо задать начало отсчета времени.

- закон движения точки по траектории.

Функция должна быть непрерывной и дважды дифференцируемой.

От задания движения в декартовых координатах можно перейти к его заданию естественным способом. Закон движения точки по траектории в дифференциальной форме через декартовы координаты выражается в виде и после интегрирования - в конечной форме если

1) Определение скорости

- орт – единичный вектор касательной траектории (направляется в сторону увеличения дуговой координаты)

2. Определение ускорения

- орт главной нормали – единичный вектор (направляется по нормали траектории к центру ее кривизны)

- тангенсальное ускорение характеризует изменение скорости по величине

- нормальное (центростремительное) ускорение характеризует изменение скорости по направлению

- радиус кривизны траектории

Формулы для проекции ускорения на естественные оси:

26) Поступательным называется такое движение твердого тела при котором любая прямая проведенная в данном теле перемещается параллельно само себе.

Поступательно движутся педали велосипеда относительно его рамы во время движения, поршни в цилиндрах двигателя внутреннего сгорания относительно цилиндров, кабины колеса обозрения в парках относительно Земли.

Траектории точек у поступательно движущегося твердого тела могут быть не только прямыми, но и кривыми, в том числе окружностями.

Теорема. При поступательном движении твёрдого тела траектории, скорости и ускорения всех точек твердого тела одинаковы.

, где

то есть

Продифференцируем по времени скорости и получим выражение .

Поступательное движение твёрдого тела полностью характеризуется движением одной любой его точки.

Твёрдое тело при поступательном движении имеет три степени свободы.

Для задания движения твердого тела в декартовой системе координат достаточно знать координаты любой его точки.

Функции называются уравнениями поступательного движения твердого тела.

27) Вращательным движением твердого тела относительно неподвижной оси называется такое движение при котором какие – либо две точки данного тела (или две точки связанные с данным телом) остаются неподвижны.

Прямая проходящая через эти неподвижные точки называются осью вращения.

У гол между неподвижной плоскостью, проходящий через ось вращения тела, и подвижной плоскостью связанной с вращающим телом называется углом поворота или угловым перемещением

1)

2)

У тела, совершающего вращение вокруг неподвижной оси, одна степень свободы, так как его положение определяется заданием только одного параметра – угла .

Угол считается положительным, если он откладывается против часовой стрелки, и отрицательным – в противоположном направлении. Траектории точек тела при его вращении вокруг неподвижной оси являются окружностями, расположенными в плоскостях перпендикулярных оси вращения.

Алгебраическая угловая скорость это проекция вектора угловой скорости на ось вращения. Алгебраическое угловое ускорение это проекция вектора углового ускорения скорости на ось вращения.

Е сли при , то алгебраическая угловая скорость возрастает с течением времени и, следовательно, тело вращается ускоренно в рассматриваемый момент времени в положительную сторону. Направление векторов и совпадают, оба они направлены в положительную сторону оси вращения .

При и тело вращается ускоренно в отрицательную сторону. Направление векторов и совпадают, оба они направлены в отрицательную сторону оси вращения .

Если при , то имеем замедленное вращение в положительную сторону. Векторы и направлены в противоположные стороны.

Если

при , то имеем замедленное вращение в отрицательную сторону. Векторы и направлены в противоположные стороны.

28) Все точки твердого тела движутся по окружностям лежащим в плоскостях перпендикулярных оси вращения твердого тела.

Центры всех этих окружностей лежат на оси вращения твердого тела.

Р ассмотрим какою-нибудь точку М твердого тела, находящуюся на расстоянии от оси вращения. При вращении твердого тела точка М будет описывать окружность радиуса , плоскость которой перпендикулярна оси вращения, а центр О лежит на самой оси. Если за время происходит элементарный поворот тела на угол , то точка М при этом совершает вдоль своей траектории элементарное перемещение .

Тогда алгебраическая скорость будет равна

или

Скорость точки равна . Скорость в отличие от угловой скорости тела называют иногда еще линейной или окружной скоростью.

Модуль скорости равен

.

Ускорение точки раскладываем на касательную и нормальную составляющие, т.е.

.

Касательное и нормальное ускорения вычисляются по формулам

, .

Таким образом , и модуль ускорения вычисляется по формуле .

29) В некоторых случаях движение точки рассматривают по отношению к двум системам координат: одна из них условно неподвижная, другая система координат подвижная.

Движение точки по отношению к подвижной системе ко­ординат называется относительным движением точки.

Скорость и ускорение этого движения называют относитель­ной скоростью и относительным ускорением и обозначают  и .

Движение точки, обусловленное движением подвижной системы координат, называется переносным движением точки.

Переносной скоростью и переносным ускорением точки на­зывают скорость и ускорение той, жестко связанной с под­вижной системой коор­динат точки, с которой совпадает в дан­ный момент времени движущаяся точка, и обозначают  и .

Движение точки по отношению к неподвижной системе координат называется абсолютным или сложным.

Сложное движение рассматривается как составное, то есть состоящее из переносного и относительного движения.

Скорость и ускорение точки в этом движении называют абсолютной скоростью и абсолютным ускорением и обозначают  и .

30) Скорость относительного движения называют относитель­ной скоростью  и обозначают  .

Вектор направлен по касательной к относительной траектории - окружности

Переносной скоростью точки на­зывают скорость той, жестко связанной с под­вижной системой коор­динат точки, с которой совпадает в дан­ный момент времени движущаяся точка, и обозначают  .

Вектор направлен перпендикулярно плоскости диска

, т.к.

Скорость точки при сложном движении называют абсолютной скоростью и обозначают  .

Абсолютная скорость точки определяется как геометрическая сумма переносной и относительной скоростей: .

31) Ускорение относительного движения называют относительным ускорением и обозначают  .

Переносным ускорением точки на­зывают ускорение той, жестко связанной с под­вижной системой коор­динат точки, с которой совпадает в дан­ный момент времени движущаяся точка, и обозначают .

Ускорение точки в этом движении называют абсолютным ускорением и обозначают  .

Абсолютное ускорение точки при поступательном переносном движении равно  векторной сумме двух ускорений – относительного и переносного.

Абсолютное   ускорение   точки   при   непоступательном   переносном  движении   равно  векторной   сумме    трех    ускорений    -   относительного,  переносного  и  ускорения Кориолиса.

Первые два слагаемые этой формулы определяются из соответствующих законов переносного и относительного движений. В случае неравномерных криволинейных движений эта формула имеет вид

32) Ускорение Кориолиса определяется по формуле:

.

Ускорение Кориолиса точки при непоступательном переносном движении характеризует изменение сразу двух скоростей – относительной по направлению и переносной по величине.

Для  определения  направления  вектора ускорение Кориолиса необходимо  вектор  относительной скорости  точки спроектировать   на   плоскость,   перпендикулярную  оси  переносного  вращения, и  повернуть  проекцию  вектора  в  этой плоскости по направлению   вращения  на  90.

33) Плоским называется такое движение твердого тела при котором все его точки перемещаются параллельно некоторой неподвижной плоскости.

Плоское движение твердого тела часто называют плоскопараллельным. Траектории точек тела при плоском движении являются плоскими кривыми.

Шатун AB – совершает плоское движение

При изучении плоского движения твердого тела можно рассматривать движение плоской фигуры в своей плоскости (плоская фигура получается при сечении твердого тела данной плоскостью), а две плоской фигуры в данной плоскости можно изучать движением прямолинейного отрезка лежащего в этой плоскости.

Движение плоской фигуры в своей плоскости можно разложить на два: поступательное движение вместе с произвольной точкой, называемой полюсом, и вращательное движение относительно полюса. Угол поворота и направление поворота не зависят от выбора полюса.

Уравнения движения плоской фигуры относительно системы координат имеют вид: .

Твердое тело при плоском движении имеет три степени свободы.

Функции

называются уравнениями плоского движения твердого тела.

34) Мгновенным центром скоростей называется точка плоской фигуры, скорость которой в данный момент времени равна нулю.

Теорема. В каждый момент времени при плоском движении фигуры в ее плоскости при (непоступательное движение), имеется один единственный центр скоростей.

Методы нахождения положения МЦС

1). Известен вектор скорости какой -либо точки A плоской фигуры и ее угловая скорость .
МЦС (точка P) находится на перпендикуляре к вектору , проведенном через точку A. Расстояние и откладывается в сторону, которую указывает вектор после поворота на угол в направлении дуговой стрелки . При этом получается, что скорость )
2). Известны не параллельные друг другу скорости и двух точек плоской фигуры.
МЦС (точка P) находится в точке пересечения перпендикуляров, проведенных через точк и A и B к скоростям этих точек. Угловая скорость плоской фигуры равна. Отметим, что для нахождения только положения МЦС достаточно знать лишь направления скоростей двух точек .
3). Известны параллельные друг другу скорости и точек A и B плоской фигуры, перпендикулярные отрезку AB, направленные в одну сторону и не равные по модулю ( ).
МЦС (точка P) находится в точке пересечения продолжения отрезка AB и прямой, проведенной через концы векторов и . При заданной длине отрезка AB расстояния от МЦС до точек A и B определяются из пропорции . Угловая скорость фигуры . Случай равенства ( ) см. п. 6.

Теорема. Скорость какой-либо точки фигуры при ее плоском движении равна векторной сумме скорости полюса и относительной скорости этой точки от вращения фигуры вокруг полюса.

, где

3 5) Первая аксиома или закон инерции. Материальная точка, на которую не действуют силы или действует равновесная система сил, обладает способностью сохранять свое состояние покоя или равномерного и прямолинейного движения относительно инерциальной системы отсчета.

Материальная точка, на которую действует равновесная система сил, называется изолированной материальной точкой.

Равномерное и прямолинейное движение точки называется движением по инерции.

Вторая аксиома или основной закон динамики. Ускорение материальной точки относительно инерционной системы отсчета пропорционально приложенной к точке силе и направлено по этой силе.

Положительный коэффициент пропорциональности m, характеризует инертные свойства материальной точки и называется массой точки.

Масса не зависит от характеристик движения точки и от природы сил. Масса считается постоянной величиной и зависит только от самой материальной точки.

Сила, приложенная к материальной точке, всегда имеет материальный источник в виде других материальных тел, которые действуют на точку путем контакта при непосредственном соприкосновении с ней или на расстоянии через посредство силовых полей.

Третья аксиома или закон о равенстве сил действия и противодействия. Силы взаимодействия двух материальных точек равны по величине и противоположны по направлению.

Четвертая аксиома или закон независимого действия сил. При одновременном действии на материальную точку нескольких сил ускорение точки относительно инерционной системы отсчета от действия каждой отдельной силы не зависит от наличия других, приложенных к точке, сил и полное ускорение равно векторной сумме ускорений от действия отдельных сил.