Задания для самостоятельной работы

Вычислить интегралы:

3. Введение нового аргумента

Вид формулы интегрирования не зависит от характера переменной интегрирования, так как если , то , где аргумент может быть некоторой функцией: .

Пример 1. Доказать, что если , то

.

Доказательство. Так как , , то, вводя новый аргумент , получаем

.▼

Замечание. Числовой множитель , возникающий при переходе к новому аргументу , называют поправочным множителем (поправкой).

В последующих примерах используются результаты примера 1.

Пример 2. Вычислить интеграл .

Решение. Так как , то.

, где .

Поэтому получаем . Поправка равна .▼

Пример 3. Вычислить интеграл .

Решение. Так как , то

.

Здесь новый аргумент , поэтому

.

Поправка равна .▼

Пример 4. Вычислить интеграл .

Решение. .

Ввели новый аргумент , получили табличный интеграл и учли поправку .▼

Пример 5. Вычислить интеграл .

Решение. , .

Так как , то , где .▼

Пример 6. Вычислить интеграл .

Решение. .

Ввели новый аргумент , получили табличный интеграл и учли поправку .▼

Пример 7. Вычислить интеграл .

Решение. .

Введение нового аргумента привело к табличному интегралу , учтена поправка .▼

Пример 8. Вычислить интеграл .

Решение.

.

Введение нового аргумента привело к табличному интегралу , учтена поправка .▼

Пример 9. Вычислить интеграл .

Решение.

= .

Введение нового аргумента привело к табличному интегралу , поправка .▼

Пример 10. Вычислить интеграл .

Решение. .

Новый аргумент , поправка .▼

Пример 11. Вычислить интеграл .

Решение.

=

( , в случае еще и ).

Введение аргумента привело к табличному интегралу , поправка . В постоянную включено слагаемое ▼

Пример 12. Вычислить интеграл .

Решение.

.

Ввели новый аргумент , пришли к табличному интегралу , учли поправку .▼

Пример 13. Вычислить интеграл .

Решение. Действуем, как в примере 12:

.▼

Хорошее знание таблицы производных и табличных интегралов, а также вид подынтегрального выражения могут подсказать связь между новым и старым аргументом.

Пример 14. Вычислить интеграл .

Решение.

.

Сначала внесли под знак дифференциала: . Это позволило ввести новый аргумент , поправка . Получили табличный интеграл .

Заметим, что вместо слагаемого 1 могло быть любое число .▼

Пример 15. Вычислить интеграл .

Решение. .▼

Внесли под знак дифференциала: , ввели новый аргумент , поправка 1, получили табличный интеграл , поправка 1.

Пример 16. Вычислить интеграл .

Решение. .

Внесли под знак дифференциала: , новый аргумент , поправка –1, получили табличный интеграл .▼

Пример 17. Вычислить интеграл .

Решение. .

Внесли под знак дифференциала: , ввели новый аргумент , поправка , получили табличный интеграл .▼

Пример 18. Вычислить интеграл .

Решение. .

Внесли под знак дифференциала: , ввели новый аргумент , поправка -1, проинтегрировали функцию .▼

Пример 19. Вычислить интеграл .

Решение.

, .

Записали , внесли под знак дифференциала: , ввели новый аргумент , поправка -1, проинтегрировали функцию .▼