Решение. Обозначим

,

( ) и покажем, что интеграл можно выразить через интеграл . Сначала преобразуем подынтегральное выражение:

Первое слагаемое есть . Для вычисления второго интеграла воспользуемся идеей, предложенной в предыдущем примере:

Получили рекуррентное соотношение, связывающее интегралы и :

.

Например, полагая в последней формуле , получим

▼

К интегралам вида которые раньше (см. примеры 4a и 5b раздела 4) вычисляли с помощью тригонометрических подстановок, тоже можно применить метод интегрирования по частям.

Пример 16. Вычислить интеграл .

Решение. Вариантов в выборе частей нет, поэтому

Получили циклический интеграл:

Напомним, что этот же результат можно получить подстановкой (или ). ▼

Задания для самостоятельной работы

Вычислить интегралы:

1. ; 6. ; 11. ; 2. ; 7. ; 12. ;

3. ; 8. ; 13. ;

4. ; 9. ; 14. ;

5. ; 10. ; 15. .

6. Интегрирование дробно-рациональных функций. Метод неопределённых коэффициентов.

Дробно-рациональной функцией (рациональной дробью) называется отношение двух алгебраических многочленов. Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена , стоящего в числителе, меньше, чем степень многочлена , стоящего в знаменателе. В противном случае дробь называется неправильной. Всякую неправильную дробь можно (например, делением числителя на знаменатель «уголком») представить в виде суммы целой части – алгебраического многочлена и правильной рациональной дроби. Будем считать, что дробь правильная и несократимая, т.е. многочлены и не имеют общих множителей, кроме константы.

Метод неопределённых коэффициентов основан на представлении правильной рациональной дроби в виде суммы простейших дробей.

Выделяют четыре типа простейших (элементарных) дробей:

– простейшая дробь первого типа;

 простейшая дробь второго типа;

 простейшая дробь третьего типа;

 простейшая дробь четвертого типа.

Правильная несократимая рациональная дробь может быть разложена на сумму простейших дробей в соответствии с корнями знаменателя . При этом

1) если число является вещественным простым корнем многочлена , иначе, знаменатель имеет линейный множитель , то ему соответствует слагаемое  дробь первого типа;

2) если число является вещественным - кратным корнем многочлена , иначе, знаменатель имеет множитель , то ему соответствуют слагаемых

,

первое из которых есть дробь первого типа, а остальные – дроби второго типа;

3) если знаменатель имеет множитель с отрицательным дискриминантом, (т.е. пару комплексно сопряженных простых корней), то ему соответствует слагаемое – дробь третьего типа;

4) если знаменатель имеет множитель , (т.е. пару комплексно сопряженных корней кратности ), то ему соответствуют слагаемых

,

первое из которых есть дробь третьего типа, а остальные – дроби четвертого типа.

Мы видим, что при разложении дроби на сумму простейших дробей появляются неопределенные коэффициенты . Как их находить, покажем на примерах.

Пример 1. Представить в виде суммы простейших дробей дробно-рацио-нальные функции

а) , b) , с) , d) , e) .

Решение. а) Функция  правильная несократимая дробь, знаменатель которой имеет вещественные простые корни и Каждому из них в разложении функции на сумму простейших дробей соответствует дробь первого типа:

= .

Найдём неопределённые коэффициенты . Для этого сначала приведём правую часть к общему знаменателю

и заметим, что если равны дроби с одинаковыми знаменателями, то равны и их числители:

(*)

или после приведения подобных членов,

. (**)

Но два многочлена равны тогда и только тогда, когда совпадают коэффициенты при одинаковых степенях аргумента . Приравнивая в (**) коэффициенты при в первой и в нулевой степени, получим систему линейных уравнений для определения двух неизвестных и :

.

Значит, = .

Заметим, что равенство многочленов сохраняется при всех значениях аргумента , в частности, при и Это позволяет найти коэффициенты и из (*), не составляя системы:

.

b) Функция  неправильная дробь, поэтому прежде всего выделим целую часть, разделив числитель на знаменатель «уголком»:

Значит, = , где  правильная дробь. Её знаменатель разлагается на множители

,

т.е. имеет три простых вещественных корня, в соответствии с которыми разложение функции на сумму простейших дробей имеет вид:

.

Приведем правую часть к общему знаменателю и приравняем числители правой и левой части:

(*)

или после приведения подобных членов

. (**)

Приравнивая в (**) коэффициенты при одинаковых степенях, выпишем систему для нахождения неопределенных коэффициентов и решим её:

Окончательно = .

Тот же результат получим, подставляя в (*) частные значения аргумента :

c) Функция =  правильная дробь, знаменатель которой имеет два простых вещественных корня (каждому из которых соответствует элементарная дробь первого типа) и двукратный вещественный корень (которому соответствуют два слагаемых). Поэтому

.

Приведём правую часть к общему знаменателю и приравняем числители:

(*)

Составим систему для определения , приравнивая в (*) коэффициенты при одинаковых степенях (на этот раз уже не будем раскрывать скобки):

Значит,

Подстановка в (*) частных значений аргумента позволяет сразу определить только три из четырех неопределенных коэффициентов, а именно:

Для определения четвёртого коэффициента надо составить любое из уравнений предыдущей системы, обычно проще всего приравнять коэффициенты при старшей степени .

d) Функция  неправильная дробь, поэтому сначала выделим целую часть, прибавив и отняв единицу в числителе:

= .

Знаменатель разложим на множители: . Простому вещественному корню соответствует элементарная дробь первого типа. Паре простых комплексно сопряженных корней (квадратный трехчлен имеет отрицательный дискриминант) соответствует элементарная дробь третьего типа. Поэтому

,

что приводит к уравнению

. (*)

Составим и решим систему:

Значит, .

Подстановка в (*) значения позволила бы сразу найти коэффициент В дальнейшем рекомендуем сначала подстановкой вещественных корней находить соответствующие коэффициенты, а затем (при наличии кратных вещественных и комплексно сопряженных корней) составлять наиболее простые уравнения системы.

e) Функция правильная дробь, знаменатель которой имеет пару комплексно сопряженных корней второй кратности. Таким корням соответствуют два слагаемых:

.

Приравняем числители:

(*)

и составим систему

Значит, .▼

Освоив технику разложения рациональной дроби на сумму простейших дробей, перейдем к их интегрированию.

Интегрирование простейших дробей первого и второго типов не вызывает затруднений:

Пример 2. Вычислить интегралы

а) , b) , с) .

Решение. а) В примере 1а) было получено разложение подынтегральной функции на сумму простейших дробей. В силу линейного свойства интеграла получаем

= .

b) Результат примера 1b) позволяет записать

=

c) Результат примера 1c) позволяет записать

▼

Прежде, чем перейти к интегрированию простейшей дроби третьего типа, рассмотрим два интеграла:

а) , b) .

В первом из них числитель есть производная знаменателя, т.е. можем записать . Поэтому подстановка сводит этот интеграл к табличному:

.

Чтобы привести второй интеграл к табличному, следует выделить в знаменателе полный квадрат:

Эти примеры показывают, что для интегрирования простейшей дроби третьего типа надо её сначала разбить на два слагаемых:

,

а затем интегрировать каждое из них.

Пример 3. Вычислить интегралы

а) , b) , с) , d) .

Решение. а) Линейное свойство интегралов позволяет записать

.

b) Найдём производную знаменателя и представим числитель в виде . Получим сумму двух интегралов, каждый из которых легко вычисляется:

с) =

d) Результат примера 1d) позволяет записать

.▼

Переходим к интегрированию простейшей дроби четвертого типа. Воспользуемся схемой, которая помогла справиться с дробью третьего типа:

.

Первое слагаемое  табличный интеграл

.

Интеграл во втором слагаемом приводится к виду

,

а в пр. 15 раздела 5 получено рекуррентное соотношение, связывающее и .

Окончательно .

Пример 4. Вычислить интеграл .

Решение. В примере 1e) подынтегральная функция разложена на сумму простейших дробей, поэтому

Интеграл получим, полагая в рекуррентном соотношении (см. пр. 15 раздела 5) :

, где .

Окончательно

= ▼