3.5 Нахождение радиуса и области сходимости степенного ряда
Степенным рядом называется выражение вида
,
(23)
где постоянный коэффициент, х – независимая переменная, х0 – фиксированное число.
Признак Лейбница для знакочередующихся рядов.
Ряд сходится, если выполняются два условия: 1) его члены убывают по модулю; 2) общий член ряда стремится к нулю, т.е.
и (24)
Алгоритм нахождения области сходимости ряда.
Находим радиус сходимости по формуле
(25)
Выписываем выражение, содержащее переменную х:
и решаем неравенство:
;
.
(26)
Подставляем левую часть неравенства в ряд вместо х, т.е. (
)
полученный ряд исследуем на сходимость.Подставляем правую часть неравенства в ряд вместо х, т.е. (
)
полученный ряд исследуем на сходимость.Определим окончательные знаки на концах неравенства (26)
если на границе ряд сходится, то знак не строгий
или
;если на границе ряд расходится, то знак строгий < или >.
Рассмотрим типовые задания с подробными решениями и указаниями или методические рекомендации к выполнению задания.
Пример: Найти область сходимости
ряда
.
Решение: Найдем радиус сходимости:
и
.
Выписываем выражение содержащее x:
.
Решаем неравенство:
.
При
получим ряд
.
По признаку Лейбница ряд расходится.
При
получим ряд
.
.
По необходимому признаку ряд сходится.
Ответ:
3.7 Разложение элементарных функций в ряд Тейлора. Применение степенных рядов
Рядом Тейлора для функции f(x) называется степенной ряд вида:
(27)
Если а=0, то получим частный случай ряда Тейлора:
,
(28)
который называется рядом Маклорена.
Алгоритм нахождения области сходимости ряда.
Находим радиус сходимости по формуле (25)
Выписываем выражение, содержащее переменную х: и решаем неравенство: ; .
Подставляем левую часть неравенства в ряд вместо х, т.е. ( ) полученный ряд исследуем на сходимость.
Подставляем правую часть неравенства в ряд вместо х, т.е. ( ) полученный ряд исследуем на сходимость.
Определим окончательные знаки на концах неравенства (26)
если на границе ряд сходится, то знак не строгий или ;
если на границе ряд расходится, то знак строгий < или >.
Рассмотрим типовые задания с подробными решениями и указаниями или методические рекомендации к выполнению задания.
Пример: Разложить в ряд Тейлора
функцию: 1)
по
степеням
2)
по степеням
Решение: 1) Вычислим значения данной
функции и её производных при
.
Имеем:
,
,
,
,
…,
Получим:
,
,
,
,
…,
.
Подставим эти значения в формулу ряда
Тейлора:
.
Промежуток сходимости ряда найдем:
Следовательно,
2) Вычислим значения данной функции и
её производных при
.
Имеем:
,
,
,
,
Получим:
,
,
,
,
.
Подставим эти значения в формулу ряда
Тейлора:
или
.