4.5 Составление интерполяционных формул Лагранжа и Ньютона

Интерполяционный полином Лагранжа. Пусть дана таблица значений. Требуется составить полином y=f(x) степени m n-1, который принимал бы заданные значения y_i при соответствующих значениях x_i, т.е. y_i=f(x_i) (i=1,2,…n). Иными словами, график этого полинома должен проходить через заданные n точек M_i(x_i,y_i). - вспомогательный многочлен n-ой степени, где x_i – из таблицы. Формула для вычисления:

(37)

Интерполяционная формула Ньютона. Формулы конечных разностей:

(38)

- разность первого порядка,

(39)

- разность второго порядка,

(40)

- разность -го порядка.

Имеем таблицу 1 конечных разностей.

Таблица 1 – Таблица конечных разностей

							…
						…
…	…				…
		…		…
			…

Формула Ньютона:

(41)

Рассмотрим типовые задания с подробными решениями.

Пример 1. Составить полином Лагранжа, удовлетворяющий таблице 2.

Таблица 2 – Данные задачи

x	1	2	3	4
y	2	3	4	5

Вспомогательный многочлен: . Найдем его производную:

. Найдем значения производной при x из таблицы:

.

Подставляем полученные данные в формулу Ньютона:

Пример 2. Данные представлены в таблице 3.

Таблица 3 – Данные задачи

x	1	2	3	4	5	6	7
y	3	7	13	21	31	43	57

Найти значение y при x=3,1, пользуясь интерполяционной формулой Ньютона.

Составим таблицу 4 конечных разностей.

Тогда,

.

Напишем интерполяционный многочлен Ньютона

+

Получим ;

.

интерполяционный многочлен для этой таблицы: .

Таблица 4 – Таблица конечных разностей

1	3
		4
2	7		2
		6		0
3	13		2
		8		0
4	21		2
		10		0
5	31		2
		12		0
6	43		2
		14
7	57