Методические указания
Теорема Умова— Пойнтинга для мгновенных значений
Кроме уравнений Максвелла, большое значение в теории электромагнитного поля имеет теорема Умова—Пойнтинга, которая описывает энергетические соотношения в поле.
Теорема Умова—Пойнтинга имеет две формы записи: первая — для мгновенных значений, вторая — комплексная форма — для синусоидально изменяющихся величин.
Известно, что
энергия электрического поля в единице
объема равна
.
Энергия магнитного поля в единице объема
.
Энергия в объеме
равна
.
Для того чтобы
образовать выражение, в которое вошла
бы полная энергия в объеме
,
умножим первое уравнение Максвелла на
,
а второе на
.
Получим
Из первого выражения вычтем второе. Тогда
Так как
,
то левая часть полученного выражения
есть
.
Следовательно,
.
Для сокращения
записи обозначим векторное произведение
на
через
,
т. е. примем, что
;
— это вектор, называемый вектором
Пойнтинга; размерность его равна
произведению размерностей
и
:
.
Таким образом, вектор Пойнтинга имеет размерность мощности (или энергии в единицу времени), отнесенной к единице поверхности, и направление его (рис. 5.2) совпадает с направлением движения острия правого винта, если головку последнего вращать по кратчайшему направлению от к . Следовательно,
Рис. 7.2. Вектор Пойнтинга
Распространим
данное выражение на некоторый объем
конечных размеров. С этой целью
проинтегрируем выражение по объему
:
Подобно тому, как
поверхностный интеграл по теореме
Стокса преобразовывается в линейный:
,объемный
интеграл в свою очередь может быть
преобразован в поверхностный. Это
преобразование осуществляют с помощью
теоремы Остроградского—Гаусса
.
Теорему Умова—Пойнтинга для мгновенных значений записывают следующим образом:
.
Левая часть
выражения представляет собой поток
вектора Пойнтинга (направленный внутрь
объема) сквозь любую замкнутую поверхность
,
ограничивающую некоторый объем
.
В соответствии с
уравнением Джоуля—Ленца в дифференциальной
форме
— энергия, выделяющаяся в виде теплоты
в единице объема в единицу времени.
Поэтому
есть энергия, выделяющаяся в виде теплоты
в единицу времени в объеме
;
есть скорость изменения запаса
электромагнитной энергии в единице
объема.
Но скорость изменения электромагнитной энергии есть мощность. Следовательно, поток вектора Пойнтинга сквозь любую замкнутую поверхность, ограничивающую объем , равен мощности, выделяющейся в объеме в виде теплоты, и мощности, идущей на приращение энергии электромагнитного поля.
Теорему Умова—Пойнтинга следует трактовать как уравнение энергетического баланса; левая часть есть мощность или энергия в единицу времени, доставляемая в виде потока вектора Пойнтинга внутрь некоторого объема; правая часть есть энергия, расходуемая в единицу времени внутри объема.
Теорема Умова—Пойнтинга для мгновенных значений была получена в предположении, что среда внутри объема однородна и изотропна, а также в предположении, что отсутствует отраженная волна и внутри объема нет источников электродвижущей силы.
Если поле не изменяется во времени, то
и
.
Обратим внимание также на то, что теорема учитывает возможность прохождения потока вектора транзитом через объем .
Электромагнитная энергия от места ее генерирования передается к месту потребления по диэлектрику (провода же в линиях передачи выполняют двоякую роль: они являются каналами, по которым проходит ток, и организаторами структуры поля в диэлектрике).