9. Истечение газов и паров

9.1 Первый закон термодинамики в применении к потоку движущегося газа

Уравнение первого закона термодинамики для 1-го кг движущегося газа имеет вид:

(9.1)

где dq – подведенная теплота от внешних источников тепла;

du – изменение внутренней энергии газа;

dl – работа против внешних сил;

– изменение внешней кинетической энергии рабочего тела.

Работа гравитационных сил равна 0; техническая работа не совершается.

Изменение кинетической энергии рабочего тела может происходить в трубах, соплах, диффузорах.

Если при перемещении газа по каналу происходит его расширение с уменьшением давления и увеличением скорости, то такой канал называют соплом.

Если в канале происходит сжатие рабочего тела с увеличением его давления и уменьшением скорости, то такой канал называют диффузором.

9.2 Работа проталкивания. Другой вид уравнения первого закона термодинамики для потока.

Определим работу проталкивания. Используем уравнение неразрывности

где f_1, f_2, … _, f – площади поперечного сечения канала;

w_1, w_{2, ..,} w – скорости рабочего тела;

V₁, V₂, .. V – удельные объёмы.

Принимаем f постоянными, в поперечном сечении канала следующие параметры газа (осредненные величины) Т, р, w и другие параметры.

Рассматриваем установившееся (стационарное) движение.

П редполагаем, что по каналу переменного сечения перемещается газ.

Выделим сечениями 1-1 и 2-2 элементарную массу газа.

pf и (p+dp)(f+df) – силы, действующие в сечениях 1-1 и 2-2.

Элементарная работа проталкивания на бесконечно малом пути между сечениями 1-1 и 2-2 за 1 сек. Находится из уравнения

Раскрывая скобки и отбрасывая бесконечно малые величины второго и высшего порядка, получаем

из уравнения неразрывности имеем:

,

где m – массовый расход газа.

,

или ,

для 1-го кг

. (9.2)

Уравнение (9.1) принимает вид

,

или ,

откуда , (9.3)

.

Из (9.3) видно, что подведенная теплота в процессе при течении газа расходуется на изменение внутренней энергии, на работу проталкивания и на изменение внутренней кинетической энергии рабочего тела, или подведенная теплота при течении газа расходуется на изменение его энтальпии и внешней кинетической энергии.

Если 1 кг газа совершает при своем движении полезную работу l_т (техническую) над внешним объектом и в нем изменяется потенциальная энергия положения (пьезометрическая высота), то уравнение первого закона термодинамики имеет вид

. (9.4)

Уравнение справедливо как для обратимых, так и для необратимых (с трением) процессов.

Для изоэнтропного течения (ds=0) при h = h₁ уравнение (9.4)] принимает вид (l_тр = q_тр)

, (9.5)

.

Если рабочее тело не производит полезной (технической) работы, то изменение кинетической энергии рабочего тела происходит за счет уменьшения его энтальпии.

Если начальная скорость тела равна 0, то

, или . (9.6)

9.3 Располагаемая работа при истечении газа

Для обратимого процесса течения газа

или . (9.7)

Из (9.7) видно, что при движении рабочего тела по каналу знаки dw и dp противоположны.

. (9.8)

Для политропного процесса

. (9.9)

Для адиабатного процесса

, (9.10)

. (9.11)

При необратимом истечении газа l’_необр.< l’_обр., т.к. из-за теплоты трения

i_{2 необр.} > i_{2 обр.}

9.4 Адиабатный процесс истечения газа

При истечении газа из канала во внешнюю среду даже при небольшом Δр скорость достаточно велика. Так как длина канала мала, то процесс истечения можно считать адиабатным. Для адиабатного процесса

,

,

откуда ,

где w₁ – начальная, w₂- конечная скорости газа.

Если w_{1 <<} w₂, то . (9.12)

9.5 Истечение несжимаемой жидкости

Так как V = const, то

,

, (9.13)

где р₁ и р₂ – начальное и конечное давление жидкости;

ρ – плотность жидкости.

9.6 Скорость истечения и секундный расход идеального газа в сужающемся канале

При адиабатном истечении

, или . (9.14)

Массовый расход при истечении

, (9.15)

где f – площадь выходного сечения канала;

w – скорость истечения;

V₂ – удельный объем газа в выходном сечении канала,

.

,

или . (9.16)

Графически располагаемая работа при истечении газа изображается площадью abcd

9.7 Анализ уравнения массового расхода идеального газа и критическое давление

;

.

Если р₂ = р₁ , то m = 0.

При уменьшении р₂ расход m растет. При некотором расход достигает m_max, а затем уменьшается до m=0 при , что противоречит здравому смыслу.

Представим на графике:

С m – кривая АК.

При = β_к m = m_max.

П ри дальнейшем эксперимент дает m=const – кривая KD.

Р асчет показывает m до m = 0 – кривая КВ.

Следовательно:

для – результаты расчета и эксперимента совпадают;

для – теория и опыт расходятся.

Сен-Венан и Вантдель предложили следующую гипотезу:

для давление в устье сужающегося канала равно давлению среды, куда проходит истечение, поэтому теория и опыт совпадают;

для давление в устье перестает быть равным давлению среды, в которую проходит истечение, даже, несмотря на понижение давления среды до полного вакуума давление в устье канала остается постоянным.

Определим , при котором m = m_max.

В уравнении (9.16) переменной величиной является

.

,

. (9.17)

Для одноатомного газа к = 1,66 и β_к = 0,49;

Для двухатомного газа к = 1,40 и β_к = 0,528;

Для трёхатомного газа к = 1,33 и β_к = 0, .

Определим критическое давление в выходном сечении сопла, при котором m = m_max:

. (9.18)