Тематичний огляд Глава 1. Власні числа та власні вектори матриці § 1. Визначення. Основні властивості власних векторів

В першій частині нашого курсу лінійної алгебри(юніта 1) ми розглянули операцію множення матриці А на вектор , результатом якого є вектор

Так, наприклад,

Вектор під дією матриці А перетворюється в новий вектор . В цьому перетворені вектор вважається образом вектора , а ­­– прообразом вектора . Особливу роль для матриці А грають вектори , образи яких колінеарні своїм прообразам.

Нехай А квадратна матриця порядку n.

Визначення. Вектор називається власним вектором матриці А, якщо володіє наступними властивостями:

1. 

2. Існує таке число λ, що , тобто

При цьому, число λ називається власним числом, або власним значенням матриці А.

Говорять, що власний вектор відповідає власному значенню λ матриці А. Задача про пошук власних векторів і власних значень матриці(перетворення) А має багато важливих додатків. Чим більше власних векторів матриці ми знаємо, тим краще розуміємо як діє матриця(перетворення) А на вектор .

Розглянемо декілька прикладів.

1. A=E, де

Е = одинична матриця

Тоді , для будь-якого вектора . Отже, будь-який вектор є власним вектором Е, відповідає власному значенню λ = 1.

2. А =

Перевіримо, як перетворюється матриця А вектора базису = (1,0) і = (0,1).

А =

Очевидно, вектори базису при множені на матрицю А повертаються на кут за годинниковою стрілкою. Матриця А здійснює поворот кожного вектора на кут за годинниковою стрілкою(рис.1,2,3).

y у

х х

Рис.1. Рис. 2.

Рис.3.

З геометричного міркування зрозуміло, що при такому перетворені ніякий вектор не переходить в колінеарний собі.

Дійсно, якщо власний, то

, тобто

, тобто вектор не може бути власним; матриця A власних векторів не має.

Відмітимо деякі властивості власних векторів матриці А.

1. Вектори,відповідні даному власному числу , створюють підпростір (власний підпростір). Нагадаємо, що множина є підпростором ,якщо лінійні операції над вектором не виводять вектор з .

Дійсно, нехай – власні вектора матриці А, відповідні власному значенню , тобто

Тоді

Таким чином, кожному власному числу відповідає незліченна безліч коллітарних власних векторів, що утворюють підпростір , яке називають власним підпростором матриці А (хоча не входить в множину )

Про властивості власних підпросторів,(про розмірність) буде сказано нижче.

2. Власні вектори, відповідні різним власним числам, лінійно незалежні.

Перевіримо це твердження для двох векторів.

Нехай – власні вектора матриці А, відповідні власним числам , тоді лінійно незалежні(не колінеарні). Припустимо противне, нехай .

Помножимо останню рівність на А:

.

Так як, , то , що заперечує умові, тобто наше припущення не вірне і лінійно незалежні.

За індукцією можна довести, що якщо - різні власні числа, то відповідні їм власні вектори … лінійно незалежні(m – будь-яке ціле число).