§ 4. Матриця переходу

Як ми бачимо в розглянутих прикладах, в лінійному просторі V все базиси рівноправні. Той чи інший базис вибирають исхо конкретних обставин. Іноді для представлення елементо лінійного простору використовують анітрохи базисів і тої да виникає завдання про перетворення координат векторів, які пов'язані із зміною базису. Ми вже зустрічалися з цим завданням в

просторі / Г (при переході від стандартного базису до власного базису матриці А).

Матрицею переходу від Оазису {/ *} до базису {#} в лінійному 1 /? вимірному просторі V називається квадратна матриця С порядку | / 7. стовпцями якої є координати нового Оазису

за старим I /;, /: / "}:

£. = «| 1 / +« 2 »/ 1 + - (к = 12 п).

Сформулюємо ще раз основні властивості матриці переходу С.

3.  Матриця З невирождени і має зворотну С "*.

4.  Матриця З є матрицею переходу від нового базису {<*] до старому {/}.

I

1

Нехай у п-мірному лінійному просторі заданий базис / * "*,

С - довільна невироджена квадратна матриця порядку л, тоді 1

існує такий базис £ _|; £ _2, в лінійному просторі, що

матриця С буде матрицею переходу від базису {/} до базису. 1

Дійсно, так як С - невирождени, то її вектор-стовпці лінійно незалежні. Будемо вважати стовпці матриці З координатами по базису

{/} Нової системи з п лінійно незалежних векторів і »

тоді система {#} - базис, а матриця С-матриця переходу від {(') до {#}.

Совргусміл Г розум арил я

незалежні трійки векторів (неколінеарних), але вже будь-які чотири вектори лінійно залежні. Згадані простору відрізняються своєю розмірністю * {

При вивченні простору R "(кжіта 1) ми переконалися, що в просторі можна вибрати різні базиси Всі вони володіють важливою властивістю - число їх векторів однаково.

Ця властивість справедливо для будь-якого лінійного простору Иц Визначення. Число векторів у всіх базисах простору V однаково. Це число називається розмірністю простору V і

позначати dim! '.

Якщо dim Г-л, то будь-які п лінійно незалежних векторів простору V утворюють базис. Тому пряма лінія - одномірне простір, площина - двумерна, а звичне нам простір - трехмерно.

Якщо в просторі можна вибрати будь-яке число лінійно; незалежних векторів, то його називають безконечномірним.

У просторі многочленів ступеня але вище п є базис

| З (/ * +1) вектора, тому розмірність цього простору.

Я

дорівнює (/ 7-t)). Простір же всіх неперервних на відрізку (ajf)

функції не є конечномірні. Ми будемо розглядати простору, мають кінцеві базиси.

Приклад 1. У просторі R розглянемо два базису. Базис {#}:

XeR ~. & = (3,4) (неколінеарна) і {/}: yj = (ll). / ₂ = (0.l) J Знайдемо координати вектора х (5,8) в кожному базисі. Очевидно, вектор {

^х = ² g, + & • значить його координати в базисі {g} x _g (2,1). У той же

£

час х = 5 /, + 3 f _2, а значить x _f = (5,3).

Приклад 2. Розглянемо сукупність всіх квадратних матриць 2-го

(Ah ⁴

. Як вже говорилося, вони утворюють лінійне

(З d

простір Покажемо, що його розмірність дорівнює 4. Дійсно, I

порядку А

5. У просторі неперервних на (л »функцій,,. М   Д

всіх диференційовних функцій ® ^ ® ^у ® р ₀ ^ зводнихГа константу похідна суми функції дорівнює су можна виносити за знак похідної).

6.  У просторі С ",, многочлени ступеня <л утворюють

простір. Сукупність же многочленів фіксованому ступеня п подпространством не є (легко перевірити _імние

7.  У просторі квадратних матриць порядку   |

матриці утворюють підпростір. ппплгтпанство

8.  У тому ж просторі можна виділити   Д I '-   *

верхнетреугольних (ніжетреугольних) матриць. '

Літо перевірити, що всі розглянуті простору утримуючи | нульовий елемент і. разом з кожним елементом л підпростору. ^ протилежний елемент-х. Цей факт є загальним для всіх

підпросторів (випливає з визначення).

Розглянемо тепер безліч рішень неоднорідної системи

лінійних рівнянь Ах-Ь. тс Н ", Ь * О, Ь з IV. Ми знаємо, що загальне рішення цієї системи записується у вигляді:

х ^ои ^ х ° ° ^ х ^{год, /}

гуде д - спільне рішення однорідної системи, а ^{д}:-приватне} рішення неоднорідної системи (будь-яке).Безліч рішень неоднорідної системи влаштовано так: треба взяти підпростір рішень однорідної системи і "зрушити" його на довільний вектор - рішення * неоднорідної системи. Зто безліч не є подпространством(наприклад, нуль-вектор в нього не входить).

D просторі R ми наводили приклади підпросторів - площини і прямі, що проходять через початок координат. Водночас площині або прямі, що не проходять через початок координат не є підпросторами, але за своїми властивостями схожі на соответвтвующих підпростору.Вони отримані паралельним

Зрушення в просторі.

Нехай І / - підпростір простору К а х ₀ - фіксований вектор, взагалі кажучи, не належить W.Тоді сукупність / увсех таких векторів ж. що * = _Л - _{+,, де у} _ _{Пробігає есе підпростір}

, Називають зрушенням підпростору W Безліч Н Rnr.fi не є подпространством. ожество Н _увзагалі кажучи

вектора в лінійному просторі V при переході від старого базису Д _і тс

новому з заданої матрицею лер ^ ходзе аппачу у разі?

Мь. вже докладно розглядали цю |

лтпампва IV Аналогічний результат аріфміческого /; мірного ^лростр '' лінійного простору І /, з має місце у випадку проізвольног

саме: порожній, старий {/} і новий {,}-Два базису в л-мірно,

просторі К С- матриця переходу від {/} до {>> '} • свавілля Ц вектор простору V,

!. т е. щоб отримати!

# 1

координати вектора в старому базисі потрібно стовпець координат цього! - Вектора в новому базисі помножити зліва на матрицю переходу з старо! про | |

базису в новий. 1 травня