3. Векторное представление сигналов – это представление сигнала вектором на комплексной плоскости. При расчетах удобно использовать следующие понятия о гармоническом сигнале.

а) Комплексное гармоническое колебание – гармонический комплекс:

s (t) = А_m e ^j(ωt+φ) = A_m e ^jωt,

г де e ^jωt – множитель вращения. На комплексной плоскости гармонический комплекс представляется вектором А_m c начальной фазой φ₀, вращающимся против часовой стрелки с частотой ω.

б) Гармоническое колебание s(t) = A_mcos(ωt+φ₀) = Re{A_m e ^jφ}. На комплексной плоскости гармоническое колебание представляется проекцией вращающегося с частотой ω против часовой стрелки вектора гармонического комплекса на реальную ось (рис. 2.10).

в ) Комплексная амплитуда . На комплексной плоскости она представляется в виде неподвижного вектора с амплитудой A_m и начальной фазой ₀.

Спектральное и операторное представление сигнала рассмотрим подробнее в разд. 2.3 и 2.4.

2.3. Спектральное представление сигналов

Очень часто математическое описание даже несложных по структуре детерминированных сигналов является весьма трудной задачей. Поэтому в теории электрических цепей и радиоэлектронике используется оригиналь­ный прием, при котором реальные сигналы заменяют (аппроксимируют) набором идеализированных математических моделей, описываемых простыми функциями. Это дает важный инструмент для анализа прохождения сигналов через радиотехнические цепи. Подобным образом можно также упростить задачу синтеза сложных сигналов из совокупности простых сигналов.

Спектральный способ представления сигнала s(t) основан на представлении любой функции времени совокупностью гармонических составляющих с соответствующими амплитудами, частотами и начальными фазами. При спектральном представлении сигнал задается не как функция времени, а как функция частоты, что является очень удобным, поскольку свойства электрических цепей часто задаются их частотными характеристиками.

Спектры периодических сигналов

Сигналы, удовлетворяющие условию S(t)=S(t+T), если Т < ∞, а -∞<t<+∞ называются периодическими. Простейшим периодическим сигналом являются гармоническое колебание S(t)=A_mcos(ω₀t+₀). Оно состоит из одной гармонической составляющей с амплитудой A_m и начальной фазой ₀, которые расположены на частоте ω₀. Для наглядного изображения спектров сигналов их изображают в виде графиков, при этом рассматривают по отдельности амплитудный спектр и фазовый спектр.

Амплитудным или амплитудно-частотным спектром (АЧС) называется зависимость амплитуд гармонических составляющих от частоты (АЧС→A_mn(ω), рис 2.11,а).

Фазово-частотным спектром (ФЧС) называется зависимость начальных фаз гармонических составляющих от частоты (ФЧС→(ω), рис. 2 11,б).

Из математики известно, что любой периодический сигнал s(t), удовлетворяющий условиям Дирихле, может быть представлен тригонометрическим рядом Фурье

,

где – основная частота следования сигнала (первая гармоника сигнала), n – номер гармоники сигнала, nΩ – частота n-й гармоники сигнала, – коэффициенты ряда Фурье:

– постоянная (средняя) составляющая сигнала;

– косинус составляющая амплитуды n-й гармоники спектра сигнала;

– синус составляющая амплитуды n-й гармоники спектра сигнала;

– амплитуда n-й гармоники;

– начальная фаза n-й гармоники.

Из ряда Фурье следует, что спектр периодического сигнала имеет дискретный (линейчатый) характер по оси частот (рис. 2.12).

а

а

б

б











2

3

4

5

АЧС

ФЧС

ФЧС

₀

₀

₀

_n

A_mn

A_m1

A_m2

A_m3

A_m

0

0

Рис. 2.12 Рис. 2.11

Спектры непериодических сигналов

Непериодический сигнал в ряд Фурье разложить нельзя. Для него вводят интеграл Фурье, который является пределом ряда, когда (T→∞). Если устремить период к бесконечности то в пределе, получим что:

1) основная частота следования = → 0. Это означает, что расстояние между спектральными линиями, равное основной частоте следования , становится бесконечно малым, а спектр – сплошным.

2) амплитуды гармонических составляющих , т. е. спектр состоит из гармонических составляющих с бесконечно малыми амплитудами.

Поэтому спектр непериодического сигнала характеризуется функцией спектральной плотности. Она показывает плотность распределения бесконечно малых амплитуд по оси частот, т.е. показывает, сколько гармонических составляющих с бесконечно малыми амплитудами приходится в диапазон частот df.

Функция спектральной плотности S(jω) связана с сигналом s(t) через преобразование Фурье:

– прямое преобразование Фурье (ППФ).

– обратное преобразование Фурье (ОПФ).

Функция спектральной плотности – это комплексная функция частоты

S(jω) = S(ω)e ^jφ(ω),

где S(ω) – модуль функции спектральной плотности, его называют спектральной плотностью амплитуд, φ(ω) – аргумент функции спектральной плотности – спектр фаз.

Главной особенностью спектра непериодического сигнала является его сплошной непрерывный характер.

Пример. Найти S(jω) одиночного прямоугольного импульса (рис. 2.13).

П о временной диаграмме запишем аналитическое выражение такого сигнала:

Найдем функцию спектральной плотности импульса и приведем это выражение к функции типа (sin x/x).

Спектральная плотность амплитуд такого импульса (рис. 2.14) имеет вид:

.

Большинство сигналов имеет бесконечный спектр по оси частот. В то же время для них применяют понятие о ширине спектра, т.е. считают, что спектры у таких сигналов ограничены. Под шириной спектра понимают диапазон частот, в котором сосредоточена заданная доля от энергии всего сигнала, обычно 50% .

Для одиночного прямоугольного импульса за ширину спектра принимают интервал частот от 0 до 2/τ_и, т.е. верхняя граничная частота спектра _гр = 2/τ_и. .

Следовательно, чем короче импульс τ_и, тем шире его спектр _гр.