Каталог заданий

1. B 12 № 27093.  Най­ди­те объем V ко­ну­са, об­ра­зу­ю­щая ко­то­ро­го равна 2 и на­кло­не­на к плос­ко­сти ос­но­ва­ния под углом 30 . В от­ве­те ука­жи­те  .

Ре­ше­ние.

Объем ко­ну­са равен

 

,

где   – пло­щадь ос­но­ва­ния, а   – вы­со­та ко­ну­са. Вы­со­ту ко­ну­са най­дем по свой­ству сто­ро­ны пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка, на­хо­дя­щей­ся на­про­тив угла в  ° – она вдвое мень­ше ги­по­те­ну­зы, ко­то­рой в дан­ном слу­чае яв­ля­ет­ся об­ра­зу­ю­щая ко­ну­са. Ра­ди­ус ос­но­ва­ния най­дем по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

 

.

Тогда объем

.

Ответ: 1.

2. B 12 № 27120.  Вы­со­та ко­ну­са равна 6, об­ра­зу­ю­щая равна 10. Най­ди­те его объем, де­лен­ный на  .

Ре­ше­ние.

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра най­дем, что ра­ди­ус ос­но­ва­ния равен  . Тогда объем ко­ну­са, де­лен­ный на  :

 

Ответ: 128.

3. B 12 № 27121.  Диа­метр ос­но­ва­ния ко­ну­са равен 6, а угол при вер­ши­не осе­во­го се­че­ния равен 90°. Вы­чис­ли­те объем ко­ну­са, де­лен­ный на π.

Ре­ше­ние.

В тре­уголь­ни­ке, об­ра­зо­ван­ном ра­ди­у­сом ос­но­ва­ния r, вы­со­той h и об­ра­зу­ю­щей ко­ну­са l, углы при об­ра­зу­ю­щей равны, по­это­му вы­со­та ко­ну­са равна ра­ди­у­су его ос­но­ва­ния: h = r. Тогда объем ко­ну­са, де­лен­ный на   вы­чис­ля­ет­ся сле­ду­ю­щим об­ра­зом:

 

Ответ: 9.

4. B 12 № 27122.  Конус по­лу­ча­ет­ся при вра­ще­нии рав­но­бед­рен­но­го пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка   во­круг ка­те­та, рав­но­го 6. Най­ди­те его объем, де­лен­ный на  .

Ре­ше­ние.

Тре­уголь­ник   – так же рав­но­бед­рен­ный, т.к. углы при ос­но­ва­нии  . Тогда ра­ди­ус ос­но­ва­ния равен 6, и объем ко­ну­са, де­лен­ный на  :

 

Ответ: 72.

5. B 12 № 27123.  Конус опи­сан около пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды со сто­ро­ной ос­но­ва­ния 4 и вы­со­той 6. Най­ди­те его объем, де­лен­ный на  .

Ре­ше­ние.

Ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са   равен по­ло­ви­не диа­го­на­ли квад­ра­та  :   . Тогда объем ко­ну­са, де­лен­ный на  :

 

Ответ: 16.

6. B 12 № 27135.  Длина окруж­но­сти ос­но­ва­ния ко­ну­са равна 3, об­ра­зу­ю­щая равна 2. Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са равна  , где   – длина окруж­но­сти ос­но­ва­ния, а   – об­ра­зу­ю­щая. Тогда

 

Ответ: 3.

7. B 12 № 27159.  Вы­со­та ко­ну­са равна 6, об­ра­зу­ю­щая равна 10. Най­ди­те пло­щадь его пол­ной по­верх­но­сти, де­лен­ную на  .

Ре­ше­ние.

Пло­щадь по­верх­но­сти скла­ды­ва­ет­ся из пло­ща­ди ос­но­ва­ния   и пло­ща­ди бо­ко­вой по­верх­но­сти:

 

.

Ра­ди­ус ос­но­ва­ния най­дем по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра для тре­уголь­ни­ка, об­ра­зо­ван­но­го вы­со­той, об­ра­зу­ю­щей и ра­ди­у­сом:  . Тогда пло­щадь по­верх­но­сти

Ответ: 144.

8. B 12 № 27160.  Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са в два раза боль­ше пло­ща­ди ос­но­ва­ния. Най­ди­те угол между об­ра­зу­ю­щей ко­ну­са и плос­ко­стью ос­но­ва­ния. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь ос­но­ва­ния ко­ну­са равна  , а пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти  . Из усло­вия имеем:

 

Зна­чит, в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке, об­ра­зо­ван­ном вы­со­той, об­ра­зу­ю­щей и ра­ди­у­сом ос­но­ва­ния ко­ну­са, катет, рав­ный ра­ди­у­су, вдвое мень­ше ги­по­те­ну­зы. Тогда он лежит на­про­тив угла  . Сле­до­ва­тель­но, угол между об­ра­зу­ю­щей ко­ну­са и плос­ко­стью ос­но­ва­ния равен  .

Ответ: 60.

9. B 12 № 27167.  Ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са равен 3, вы­со­та равна 4. Най­ди­те пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти ко­ну­са, де­лен­ную на  .

Ре­ше­ние.

Най­дем об­ра­зу­ю­щую по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:  . Пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти ко­ну­са

 

.

Ответ: 24.

10. B 12 № 27202.  Най­ди­те объем   части ко­ну­са, изоб­ра­жен­ной на ри­сун­ке. В от­ве­те ука­жи­те  .

Ре­ше­ние.

Объем дан­ной части ко­ну­са равен

 

.

Ответ: 87,75.

11. B 12 № 27203.  Най­ди­те объем   части ко­ну­са, изоб­ра­жен­ной на ри­сун­ке. В от­ве­те ука­жи­те  .

Ре­ше­ние.

Объем дан­ной части ко­ну­са равен

 

.

Ответ: 243.

12. B 12 № 27204.  Най­ди­те объем   части ко­ну­са, изоб­ра­жен­ной на ри­сун­ке. В от­ве­те ука­жи­те  .

Ре­ше­ние.

Объем дан­ной части ко­ну­са равен

 

.

Ответ: 216.

13. B 12 № 27205.  Най­ди­те объем   части ко­ну­са, изоб­ра­жен­ной на ри­сун­ке. В от­ве­те ука­жи­те  .

Ре­ше­ние.

Объем дан­ной части ко­ну­са равен

 

.

Ответ: 607,5.

14. B 12 № 245351.

Конус впи­сан в шар. Ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са равен ра­ди­у­су шара. Объем шара равен 28. Най­ди­те объем ко­ну­са.

Ре­ше­ние.

За­пи­шем фор­му­лу для объёма шара:

 

.

 

Объём ко­ну­са в 4 раза мень­ше:

 

.

 

Ответ: 7.

15. B 12 № 324453. Пло­щадь ос­но­ва­ния ко­ну­са равна 16π, вы­со­та — 6. Най­ди­те пло­щадь осе­во­го се­че­ния ко­ну­са.

Ре­ше­ние.

Осе­вым се­че­ни­ем ко­ну­са яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник, вы­со­та ко­то­ро­го сов­па­да­ет с вы­со­той ко­ну­са, а ос­но­ва­ние яв­ля­ет­ся диа­мет­ром ос­но­ва­ния ко­ну­са. По­это­му пло­щадь осе­во­го се­че­ния равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния вы­со­ты ко­ну­са на диа­метр его ос­но­ва­ния или про­из­ве­де­нию вы­со­ты ко­ну­са на ра­ди­ус ос­но­ва­ния R. По­сколь­ку по усло­вию   ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са равен 4, а тогда ис­ко­мая пло­щадь осе­во­го се­че­ния равна 24.

 

Ответ: 24.

16. B 12 № 324454. Пло­щадь ос­но­ва­ния ко­ну­са равна 18. Плос­кость, па­рал­лель­ная плос­ко­сти ос­но­ва­ния ко­ну­са, делит его вы­со­ту на от­рез­ки дли­ной 3 и 6, счи­тая от вер­ши­ны. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния ко­ну­са этой плос­ко­стью.

Ре­ше­ние.

Се­че­ние плос­ко­стью, па­рал­лель­ной ос­но­ва­нию, пред­став­ля­ет собой круг, ра­ди­ус ко­то­ро­го от­но­сит­ся к ра­ди­у­су ос­но­ва­ния ко­ну­са как 3 : 9. Пло­ща­ди по­доб­ных фигур от­но­сят­ся как квад­рат ко­эф­фи­ци­ен­та по­до­бия, по­это­му пло­щадь се­че­ния в 9 раз мень­ше пло­ща­ди ос­но­ва­ния. Тем самым, она равна 2.

 

Ответ: 2.

17. B 12 № 324455. Вы­со­та ко­ну­са равна 8, а длина об­ра­зу­ю­щей — 10. Най­ди­те пло­щадь осе­во­го се­че­ния этого ко­ну­са.

Ре­ше­ние.

Осе­вым се­че­ни­ем ко­ну­са яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник, ос­но­ва­ние ко­то­ро­го — диа­метр ос­но­ва­ния ко­ну­са, а вы­со­та сов­па­да­ет с вы­со­той ко­ну­са. Об­ра­зу­ю­щая ко­ну­са  , его вы­со­та   и ра­ди­ус ос­но­ва­ния   свя­за­ны со­от­но­ше­ни­ем   от­ку­да   Сле­до­ва­тель­но, диа­метр осе­во­го се­че­ния ко­ну­са равен 12, а пло­щадь осе­во­го се­че­ния равна 0,5 · 12 · 8 = 48.

 

Ответ: 48.

18. B 12 № 324456. Диа­метр ос­но­ва­ния ко­ну­са равен 12, а длина об­ра­зу­ю­щей — 10. Най­ди­те пло­щадь осе­во­го се­че­ния этого ко­ну­са.

 

Ре­ше­ние.

Осе­вым се­че­ни­ем ко­ну­са яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник, ос­но­ва­ние ко­то­ро­го — диа­метр ос­но­ва­ния ко­ну­са, а вы­со­та сов­па­да­ет с вы­со­той ко­ну­са. Об­ра­зу­ю­щая ко­ну­са  , его вы­со­та   и ра­ди­ус ос­но­ва­ния   свя­за­ны со­от­но­ше­ни­ем   от­ку­да   Сле­до­ва­тель­но, пло­щадь осе­во­го се­че­ния равна 0,5 · 12 · 8 = 48.

 

Ответ: 48.

19. B 12 № 324458. Ци­линдр и конус имеют общие ос­но­ва­ние и вы­со­ту. Вы­со­та ци­лин­дра равна ра­ди­у­су ос­но­ва­ния. Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра равна   Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са.

 

Ре­ше­ние.

За­ме­тим, что конус и ци­линдр имеют общую вы­со­ту и рав­ные ра­ди­у­сы ос­но­ва­ния. Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра равна   от­ку­да, учи­ты­вая, что   по­лу­ча­ем:   или

 

 

Об­ра­зу­ю­щая ко­ну­са  , его вы­со­та   и ра­ди­ус ос­но­ва­ния   свя­за­ны со­от­но­ше­ни­ем   от­ку­да, учи­ты­вая, что   по­лу­ча­ем:   или 

Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са равна   сле­до­ва­тель­но:

 

 

 

Ответ: 3.

20. B 12 № 505149.  Вы­со­та ко­ну­са равна 12, а диа­метр ос­но­ва­ния равен 10. Най­ди­те об­ра­зу­ю­щую ко­ну­са.

Ре­ше­ние.

Об­ра­зу­ю­щая ко­ну­са по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра равна

 

Ответ: 13.

21. B 12 № 505170.  Вы­со­та ко­ну­са равна 4, а диа­метр ос­но­ва­ния равен 6. Най­ди­те об­ра­зу­ю­щую ко­ну­са.

Ре­ше­ние.

Об­ра­зу­ю­щая ко­ну­са по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра равна

 

Ответ: 5.

Самостоятельная работа по теме «Конус» Цель:

• проверить навыки учащихся по применению своих знаний в ходе решения стандартных задач по теме «Конус»

• подготовка к ЕГЭ по математике

Решить задачи: 1. Диаметр основания конуса равен 10, образующая равна 13. Найдите высоту конуса. 2. Радиус основания конуса равен 3, высота равна 4. Найдите образующую конуса. 3. Образующая конуса равна 10, высота равна 8. Найдите радиус основания конуса. 4. Образующая конуса равна 10 и наклонена к плоскости основания под углом 30 градусов. Найдите высоту конуса. 5. Высота конуса равна 10. Найдите образующую. если она наклонена к плоскости основания под углом 30 градусов. 6. Радиус основания конуса равен 3, образующая наклонена к плоскости основания под углом 45 градусов. Найдите высоту конуса. 7. Высота конуса равна 6, образующая наклонена к плоскости основания под углом 45 градусов. Найдите диаметр конуса. 8. Образующая конуса равна 10 и наклонена к плоскости основания под углом 60 градусов. Найдите радиус основания конуса. 9. Диаметр основания конуса равен 6. Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 60 градусов. Найдите образующую конуса. ответы:

задание	1	2	3	4	5	6	7	8	9
ответ	12	5	6	5	20	3	12	5	6

Задача 1. 

Высота конуса равна 12, образующая равна 14. Найдите его объем, деленный на .

Задача 2.

Конус получается при вращении равнобедренного прямоугольного треугольника  вокруг катета, равного 6. Найдите его объем, деленный на .

Задача 3. 

Длина окружности основания конуса равна 5, образующая равна 8. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Задача 4. 

Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности конуса, если его образующую увеличить в 9 раз?

Задача 5. 

Площадь боковой поверхности конуса в два раза больше площади основания. Найдите угол между образующей конуса и плоскостью основания. Ответ дайте в градусах.

Задача 6. 

Площадь полной поверхности конуса равна 148. Параллельно основанию конуса проведено сечение, делящее высоту пополам. Найдите площадь полной поверхности отсеченного конуса.

Задача 7.

Найдите объем  конуса, образующая которого равна 11 и наклонена к плоскости основания под углом 30°. В ответе укажите .

Задача 8.

Во сколько раз уменьшится объем конуса, если его высоту уменьшить в 6 раз?

Задача 9.

Во сколько раз увеличится объем конуса, если его радиус основания увеличить в 4,5 раза?

Задача 10.

Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Найдите объем конуса, если объем цилиндра равен 45.

Задача 11.

Диаметр основания конуса равен 66, а угол при вершине осевого сечения равен 90°. Вычислите объем конуса, деленный на .

Задача 12.

Конус описан около правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания 3 и высотой 5. Найдите его объем, деленный на .

Решение:  + показать

Задача 13.

Во сколько раз объем конуса, описанного около правильной четырехугольной пирамиды, больше объема конуса, вписанного в эту пирамиду?

Задача 14.

Найдите объем  части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите .

Задача 15.

Найдите объем  части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите .

Задача 16.

Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем шара равен 156. Найдите объем конуса.

Задача 17.

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает  высоты. Объём жидкости равен 54 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?

 

Задача 1. 

Высота конуса равна 12, образующая равна 14. Найдите его объем, деленный на .

Объем конуса вычисляется по формуле .

Находим радиус основания  по т. Пифагора:

Тогда 

Откуда 

Ответ: 208.  

Задача 2.

Конус получается при вращении равнобедренного прямоугольного треугольника  вокруг катета, равного 6. Найдите его объем, деленный на .

Решение:   + показать

Задача 3. 

Длина окружности основания конуса равна 5, образующая равна 8. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Решение:  - спрятать

Площадь боковой поверхности конуса есть , где  – радиус основания конуса и образующая конуса.

А поскольку длина окружности основания конуса равна  и равна 5 по условию, то  

Ответ: 20.  

Задача 4. 

Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности конуса, если его образующую увеличить в 9 раз?

Площадь боковой поверхности конуса зависит от двух величин – от  и , так как  ( – радиус, образующая конуса).

Радиус не изменяется, а образующая увеличивается в 9 раз. Значит и площадь боковой поверхности конуса увеличится в 9 раз.

Ответ: 9.  

Задача 5. 

Площадь боковой поверхности конуса в два раза больше площади основания. Найдите угол между образующей конуса и плоскостью основания. Ответ дайте в градусах.

Согласно условию  ( – радиус основания конуса, образующая конуса). Откуда 

Прямоугольный треугольник, образованный высотой, образующей и радиусом основания таков, что катет вдвое меньше гипотенузы, значит угол между образующей конуса и плоскостью основания равен 60°.

Ответ: 60.