Кореляційний аналіз сигналів.

Кореляційний аналіз сигналів є однією з найважливіших операцій ЦОС. Він застосовується в таких методах обробки сигналів, як виявлення скритих періодичностей, визначення віддалі до об’єкту локації (може бути радіолокація і ехолокація), визначення швидкості рухомого об’єкту, згладжування шумів, тощо.

Розглянемо коефіцієнт кореляції для ,

Якщо якийсь сигнал чи є короткий, то його доповнюємо нулями. Введемо коефіцієнт кореляції , що буде засвідчувати міру подібності, міру взаємної залежності між сигналами і наступним чином:

З позиції лінійної алгебри, якщо і трактувати як дві вектори, то це буде скалярний добуток цих векторів.

Якщо , то - коефіцієнт кореляції між і якимось заданим сигналом.

1.   ; якщо велике, то між і є кореляція.

2.   ; якщо велике по модулю, але від’ємне, то між і є кореляція, що розвивається в протилежному напрямку

3.   і , або хоча б одне з них є реалізаціями випадкового процесу з рівномірним розподілом на інтервалі , , при чому імовірність того, що чи набуде якогось значення є однакова. Для цього випадку порахуємо суму:

При цьому вважають якщо r прямує до нуля, то процеси некорельовані, якщо ж , то ці два процеси корелюються і між ними існує зв’язок. Це є один із методів тестування давачів випадкових чисел.

Приклад.

Розглянемо задачу, де можна зробити наступний вжиток: розпізнати одне слово з двадцяти.

, ; ‑ базові сигнали

, ‑ сигнал, що прийшов.

; .

Знайти . , при якому був досягнутий мінімум дасть нам номер (слова) сигналу.

.

Якщо явно вираженого максимуму немає, то такого слова в базі немає.

Може виникнути ситуація, коли сигнал прийде з запізненням, тоді нам треба синхронізувати сигнал.

Визначення віддалі до об’єкту за допомогою кореляційного аналізу.

;

;

.

‑ час затримки сигналу

; ‑ швидкість світла.

Потрібно визначити .

Замінимо ; ;

, для

; ; ; ; ;

; ; ; ; .

Найбільше значення кореляційна функція має тоді, коли один графік накладається на другий: на . Тобто , отже .

Розглянемо ще одну задачу.

Визначення швидкості об’єкту за допомогою кореляційного аналізу.

Визначимо затримку ( ).

Якщо і - періодичні сигнали з періодом , то періодична з періодом .

;

.

Швидке обчислення кореляційної фунції.

Обчислення кореляційної функції можна здійснювати за допомогою швидких алгоритмів ортогональних перетворень, зокрема за допомогою алгоритмів ШПФ та ШПХ. Така можливість грунтується на основі властивості ДПФ кореляції. Розглянемо цю властивість:

Візьмемо ДПФ з лівої і правої частини

Формула ДПФ:

для де : .

Тоді:

‑ комплексно спряжене ДПФ ; ‑ ДПФ .

Якщо ‑ кореляційна функція, то .

де: ; ; .

Блок доповнення нулями робить наступне:

Таке доповнення нулями необхідне в тих випадках, коли , не є періодичними (або обчислюється лінійна взаємокореляційна функція).