§ 5. Системы двух дискретных случайных величин

Пусть при одном и том же испытании рассматриваются две случайные величины X и Y. Тогда каждому элементарному исходу испытания соответствует пара значений (x, y). В этом случае говорят, что задана двумерная случайная величина (X, Y) или, что то же самое, система случайных величин X и Y.

Y X			…		…
			…		…
			…		…
			…		…
			…		…

Ограничимся рассмотрением случая, когда X и Y – дискретные случайные величины с конечным числом значений. законом распределения двумерной дискретной случайной величины (X, Y) называется таблица, в которой перечислены значения случайных величин X и Y, а также вероятности, с которыми принимаются соответствующие пары значений. В таблице ,…, ,…, –значения случайной величины X , а ,…, ,…, –значения случайной величины Y, – вероятность того, что X = , Y = .

Как и в случае одномерной случайной величины, сум-ма всех вероятностей равна единице, то есть .

Если вероятности просуммировать по строкам и столбцам, получатся, соответственно, вероятности, с которыми случайные величины X и Y принимают свои значения. Действительно, событие складывается из попарно несовместных событий (j=1,2,…, m), поэтому . Обозначая через , будем иметь . Так же получаем, что , где .

Формулы для вычисления математических ожиданий X и Y приобретают вид: , .

(Если X и Y – компоненты двумерной случайной величины (X, Y), то их математические ожидания обозначаются обычно не и , а и . Аналогичный смысл имеют обозначения , , , .)

Основными числовыми характеристиками двумерной случайной величины (X, Y) являются смешанный момент , корреляционный момент и коэффициент корреляции r.

Смешанный момент определяется равенством . Поскольку – одно из значений случайной величины XY, а – вероятность, с которой это значение принимается, то смешанный момент совпадает с математическим ожиданием произведения случайных величин X и Y, то есть .

Корреляционный момент двумерной случайной величины определяется равенством .

Дискретные случайные величины X и Y называются независимыми, если P(X = a, Y = b) = P(X = a)P(Y=b). Если X и Y – компоненты двумерной случайной величины (X, Y), условие независимости приобретает вид:

, или .

Математическое ожидание независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий. Действительно,

.

Очевидно, что корреляционный момент независимых случайных величин равен нулю.

Коэффициент корреляции определяется равенством . Как и корреляционный момент, коэффициент корреляции независимых случайных величин равен нулю.

Доказано, что коэффициент корреляции обладает свойством .

Если коэффициент корреляции равен нулю, случайные величины называются некоррелированными. Ясно, что независимые случайные величины являются некоррелированными. Обратное неверно, из некоррелированности независимость не следует.

Говорят, что случайные величины X и Y связаны линейной зависимостью, если Y = k X + b, где k и b – некоторые числа, причём .

Можно доказать, что если случайные величины X и Y связаны линейной зависимостью, то . Верно и обратное, если абсолютная величина коэффициента корреляции равна единице, случайные величины связаны линейной зависимостью.