§ 6. Линейное корреляционное уравнение

Пусть задана дискретная двумерная случайная величина (X, Y). Если коэффициент корреляции по абсолютной величине отличен от единицы, то случайная величина Y не связана с X линейной зависимостью. Возникает вопрос, при каких значениях коэффициентов k и b случайная величина , связанная с X линейной зависимостью, наилучшим образом приближает случайную величину Y.

Для ответа на этот вопрос воспользуемся методом наименьших квадратов, состоящим в том, что наилучшим приближением случайной величины Y считается такое , что математическое ожидание квадрата их разности минимально.

Найдём математическое ожидание квадрата разности Y и (так как зависит от коэффициентов k и b, математическое ожидание также будет функцией аргументов k и b).

M [ ( – Y )²] = .

Напомним, что необходимое условие экстремума функции двух переменных состоит в том, что в точке экстремума частные производные обращаются в 0. В нашей ситуации это означает, что .

Вычислим частные производные функции и приравняем их к 0.

(Пояснение: .)

Получаем систему уравнений . Главный определитель . Решаем эту систему по формулам Крамера: и, значит, ; , .

Подставим найденные k и b в уравнение , учитывая, что . Получим уравнение . Это и есть линейное корреляционное уравнение, которое обычно приводят к следующему виду:

.

§ 7. Статистический ряд

Пусть проведено n испытаний (наблюдений), в результате которых случайная величина приняла n значений, называемых обычно наблюдёнными значениями. Перечень этих значений (среди них могут быть равные) называют выборкой, число n – объёмом выборки.

Сама по себе выборка, даже достаточно большого объёма, не даёт представления о характере распределения случайной величины. Чтобы закономерности распределения исследуемой случайной величины проявились, наблюдённые значения случайной величины сводят в интервалы.

Как показывает практика обработки статистических данных, величину интервалов следует выбирать так, чтобы их число не более чем на 2-3 единицы отличалось от 12. Пусть X_max и X_min – наибольшее и наименьшее значения выборки. Разделив разность между ними на 12 и округлив результат, получим величину интервала с, то есть .

В качестве начала первого интервала удобно взять округлённое в меньшую сторону значение X_min. Число интервалов k должно быть таким, чтобы X_max, попало в последний, k-й, интервал. Обозначим середины интервалов через ,…, ,…, и будем называть их разрядами. Совокупность k примыкающих друг к другу интервалов длины с назовём разрядной сеткой. Наблюдённые значения, попавшие в полуоткрытый интервал , отнесём к разряду , а их число обозначим через и назовём i-й разрядной частотой или частотой i-го разряда (i = 1, 2, … k). Сумма разрядных частот совпадает с объёмом выборки, .

Xmin Xmax x1 x2 … xi c … xk Разрядная сетка

X	x1	x2	...	xi	...	xk
частоты	n1	n2	...	ni	...	nk

Таблица, в первой строке которой указаны разряды, а во второй – соответствующие разрядные частоты, называется статистическим рядом.

По статистическому ряду строится многоугольник частот – ломаная, соединяющая точки ( , ), i = 1, 2, … k. Многоугольник частот даёт первоначальное представление о форме кривой распределения (графика плотности распределения) случайной величины X.