3.4.3 Виды числовых рядов.
Числовой ряд
называется
знакоположительным, если все
его члены положительны, то есть,
Числовой ряд
называется знакочередующимся,
если знаки его соседних членов различны.
Знакочередующийся числовой ряд можно
записать в виде
или
,
где
.
Числовой ряд называется знакопеременным, если он содержит бесконечное множество как положительных, так и отрицательных членов.
Знакочередующийся числовой ряд является частным случаем знакопеременного ряда.
Ряды
являются знакоположительным, знакочередующимся и знакопеременным соответственно.
3.4.3 Свойства числовых рядов.
Теорема 1. Если ряд
сходится
и имеет сумму S,
то ряд
,
также сходится и его сумма равна kS.
Теорема 2. Если ряды
сходятся
и имеют соответственно суммы S
и S,
то ряд
получающийся почленным сложением
данных рядов, также сходится и имеет
сумму S+S.
Теорема 3. Если сходится данный ряд, то сходится и ряд, полученный из данного отбрасыванием конечного числа k его первых членов. (Коротко, на сходимость ряда не влияет отбрасывание любого конечного числа его первых членов).
Пример
Найти сумму ряда
Решение.
Представим наш ряд в виде суммы двух рядов, пользуясь теоремами 1 и 2:
Оба ряда являются рядами геометрическими. Существенным является то обстоятельство, что речь идёт о сходящихся рядах. В данном примере мы заранее знаем, что обе геометрические прогрессии сойдутся, а значит, раскладываем исходный ряд в два ряда.
Дважды используем формулу для нахождения суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
,
где а1 – первый
член прогрессии, q
– знаменатель прогрессии.
.
Итак, общий алгоритм исследования ряда на сходимость заключается в необходимости составления n-ой частичной суммы ряда Sn и нахождении предела .
Пример
Исследовать ряд
на сходимость.
Решение.
На первом шаге нужно разложить общий член ряда в сумму дробей. Используем метод неопределённых коэффициентов:
В результате:
Составим частичную сумму
ряда
Почти все слагаемые частичной суммы благополучно сокращаются:
Осталось вычислить элементарный предел и узнать сумму ряда:
.
Предел частичных сумм ряда равен числу, т.е. конечен, следовательно, исходный ряд сходится.
В подавляющем большинстве случаев найти сумму ряда затруднительно, и поэтому на практике для исследования сходимости ряда используют специальные признаки, которые доказаны теоретически.
Существует
несколько признаков сходимости ряда:
необходимый признак
сходимости ряда, признаки сравнения,
признак Даламбера, признаки Коши,
некоторые другие признаки. Когда
какой признак применять?
Это зависит от общего
члена ряда
3.4.4. Необходимый признак сходимости числового ряда.
Теорема. Если числовой ряд
сходится, то его общий член при
неограниченном возрастании n
стремится к нулю, т.е.
Следствие. (достаточное условие
расходимости ряда) Если
или этот предел не существует, то ряд
расходится.
Почему признак называется необходимым? Потому, что, если общий член ряда стремится к нулю, то это еще не значит, что ряд сходится. То есть для того, чтобы ряд сходился, необходимо, чтобы его общий член стремился к нулю; но этого еще – не достаточно. Если общий член ряда стремится к нулю, то ряд может, как сходиться, так и расходиться! В таких случаях для решения примеров нужно использовать другие признаки.
Пример.
Исследовать ряд на сходимость
.
Решение.
Замечание.
При исследовании рядов на сходимость
необходимо хорошо
понимать, что такое предел и хорошо
уметь раскрывать неопределенность
типа
.
При вычислении предела в качестве «динамической» переменной выступает n, а пределы с переменной «эн» – пределы числовых последовательностей. Отличие состоит в том, что переменная «эн» принимает дискретные (прерывные) натуральные значения: 1, 2, 3 и т.д. Но данный факт мало сказывается на методах решения пределов и способах раскрытия неопределенностей.
Итак, находим предел общего
члена числового ряда:
Напоминаю, что при раскрытии неопределенности типа бесконечность, деленная на бесконечность числитель и знаменатель дроби делят на старшую степень переменной, в данном случае это n:
бмф
Исследуемый ряд расходится, так как не выполнен необходимый признак сходимости ряда.
Пример
Исследовать ряд на сходимость
Решение.
Исследуемый ряд расходится, так как не выполнен необходимый признак сходимости ряда.
Необходимый признак сходимости не дает возможности судить о том, сходится ли данный ряд. Сходимость и расходимость ряда во многих случаях можно установить с помощью, так называемых достаточных признаков. Рассмотрим некоторые из них для знакоположительных рядов. (Так как умножение на всех членов ряда на число не влияет на его сходимость, знакоотрицательный ряд переходит в знакоположительный при умножении его на (-1)).