3.4.5.3 Радикальный признак Коши.

Признак сходимости Коши для положительных числовых рядов во многом похож на признак Даламбера.

Радикальный признак Коши обычно использует в тех случаях, когда общий член ряда полностью находится в степени, зависящей от n. Либо когда корень «хорошо» извлекается из общего члена ряда.

Теорема. Пусть дан знакоположительный числовой ряд . Если существует предел: , то:

а) при ряд сходится.

б) при ряд расходится.

Замечания.

1. В частности, ряд сходится при .

2. В частности, ряд расходится при .

3. При признак не дает ответа. Ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся. Нужно использовать другой признак.

Интересно отметить, что если признак Коши не даёт нам ответа на вопрос о сходимости ряда, то признак Даламбера нам тоже не даст ответа. Но если признак Даламбера не даёт ответа, то признак Коши вполне может «сработать». То есть, признак Коши является в этом смысле более сильным признаком.

Пример

Исследовать на сходимость ряд

Решение

Общий член ряда полностью находится под степенью, зависящей от n, а значит, нужно использовать радикальный признак Коши:

Таким образом, исследуемый ряд расходится.

Пример

Исследовать на сходимость ряд

Решение.

Используем радикальный признак Коши:

Таким образом, исследуемый ряд сходится.

3.4.5.4 Интегральный признак Коши.

Основной предпосылкой использования интегрального признака Коши является тот факт, что в общем члене ряда есть некоторая функция и её производная.

Теорема. Если члены знакоположительного ряда могут быть представлены как числовые значения некоторой непрерывной монотонно убывающей на промежутке [1;+) функции f(x) так, что a₁=f(1), a₂=f(2), … a_n=f(n), то:

а) если , то ряд расходится;

б) если равен любому конечному числу, то ряд сходится.

Замечания.

1. Функцию f(x) можно получить из общего члена ряда a_n путем замены n на x.

- несобственный интеграл.

Пример

Исследовать на сходимость ряд .

Решение

Подынтегральная функция непрерывна на [2;+). Используем интегральный признак:

+

Таким образом, исследуемый ряд расходится вместе с соответствующим несобственным интегралом.

Пример

Исследовать на сходимость ряд .

Решение

Подынтегральная функция непрерывна на [1;+). Используем интегральный признак Коши:

Получено конечное число, значит, исследуемый ряд сходится вместе с соответствующим несобственным интегралом.

3.4.5.5 Признак Лейбница.

Признак Лейбница используется при исследовании на сходимость знакочередующегося ряда.(См. п 3.4.3).

Теорема. Пусть дан знакочередующийся числовой ряд . Знакочередующийся ряд сходится, если:

1. Последовательность абсолютных величин членов ряда монотонно убывает, т.е.

2. Общий член ряда стремится к нулю:

Пример

Исследовать на сходимость ряд

Решение.

В общий член ряда входит множитель (-1)ⁿ , а значит, ряд является знакочередующимся и нужно использовать признак Лейбница.

Члены ряда не убывают по модулю. Да и предел

Вывод: ряд расходится.

Знакочередующийся ряд является частным случаем знакопеременного ряда, который содержит бесконечное множество положительных и бесконечное множество отрицательных членов.

Определение. Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если ряд, составленный из модулей его членов, сходится.

Определение. Знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится.

Пример

Исследовать на сходимость ряд

Решение

Ряд является знакочередующимся.

Используем признак Лейбница:

1) Каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий:

2) Предел общего члена ряда равен нулю

Вывод: ряд сходится.

Выясним, как сходится данный ряд, условно или абсолютно.

Составим ряд из модулей – просто убираем множитель, который обеспечивает знакочередование:

– расходится (гармонический ряд).

Таким образом, исходный ряд сходится. условно.

Пример

Исследовать на сходимость ряд .

Решение

Данный ряд является знакочередующимся.

Используем признак Лейбница:

1) Каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий:

2)

Вывод: ряд сходится.

Исследуем ряд на абсолютную сходимость:

Анализируя общий член ряда, приходим к выводу, что здесь нужно использовать предельный признак сравнения. Скобки в знаменателе удобнее раскрыть:

Сравним данный ряд со сходящимся рядом . Используем предельный признак сравнения:

Получено конечное число, отличное от нуля, значит, ряд сходится вместе с рядом .

Исследуемый ряд сходится абсолютно.

Продолжение следует.