5. Алгоритм решения задачи на равновесие. Определение неизвестных реакций связей.

1. Выбираем объект равновесия (например, в задаче С1 - это жесткая рама, в задаче С2 - это, в первой части задачи -стержень, во второй части - жесткий угольник, в задаче С4 - это сваренная пластина).

2. Составляем расчётную схему задачи:

• на схеме изображаем выбранный объект равновесия свободным от связей;

• наносим на схему все заданные силы, включая табличные и силы тяжести (если в условии задачи, например, в задаче С2, есть распределённые нагрузки, предварительно заменяем их соответствующими сосредоточенными силами);

• наносим на схему в тех точках, где на исходном рисунке расположены связи, соответствующие этим связям силы - реакции связей;

• расчётная схема готова - она представляет собой свободный объект равновесия, находящийся под действием нанесённой на схему системы сил.

3. Для полученной на расчётной схеме уравновешенной системы сил составляем соответствующие ей уравнения равновесия.

4. Решаем полученную систему алгебраических уравнений и находим неизвестные величины - реакции связей или их составляющие по осям координат (при этом нужно помнить, что число уравнений в системе должно быть равно числу неизвестных величин, т.е. задача должна быть статически определённой).

5. Проверяем правильность полученного решения. Для этого составляем несколько дополнительных уравнений равновесия, исключая при этом, те, которые были использованы для решения данной задачи (или части задачи). Если полученное решение верно, т.е. найденные величины удовлетворяют уравнениям равновесия, переходим к следующему пункту.

6. Составляем окончательную расчётную схему задачи, на которую в выбранном масштабе нанесены все заданные силы и все найденные реакции связей и их составляющие. Вычислить модуль и направляющие углы для тех реакций связей для которых найдены составляющие, построить их на схеме, т.е. построить равнодействующую для найденных составляющих.

6. Пример использования алгоритма для решения задачи .

Задача С2. Тема: "Равновесие составной конструкции, находящейся под действием произвольной плоской системы сил"

Конструкция состоит из жесткого угольника и стержня, которые в точке С свободно опираются друг о друга .

На конструкцию наложены внешние связи :

• в точке А жесткая заделка;

• в точке В шарнир;

На конструкцию действуют:

• пара сил с моментом М = 50 кН·м;

• равномерно распределенная нагрузка интенсивности q = 10 кН /м;

• две силы, F₁=10 кН, и F₂=20 кН , приложенные в точках K и L соответственно.

Определить реакции связей в точках А, В, С. При окончательных расчетах принять а=0,5м

B o

M

60⁰ - K F₂

F₁

30⁰ L 45⁰

C

A

Рис.1

Решение задачи.

Применим для решения задачи приведённый выше алгоритм.

Выбираем объект равновесия.

Рассмотрим отдельно равновесие стержня ВС (I) и жёсткого угольника ACL (II), т.е. будем решать две задачи на равновесие. ¹

Первая часть. Задача I.

1. Итак, объект равновесия выбран – это стержень ВС (жёсткий угольник ACL в этой части задачи рассматриваем как связь наложенную на ВС).

2. Составим расчётную схему задачи: к свободному стержню ВС приложим все заданные силы –пару сил

3. с моментом М, силу F₁ , и реакции связей – X_B, Y_B, Y_C. Расчётная схема готова (Рис.2).

Y

Y_B

X_B

B

M K

60⁰ Y_C

F₁

30⁰ C

O X

Рис.2

4. Для полученной на расчётной схеме уравновешенной произвольной плоской системы сил составим три независимых уравнения равновесия в форме:

(1)

(2)

(3)

5. Можно сразу решить систему алгебраических уравнений (1)-(3) относительно неизвестных X_B , Y_B, Y_C, т.к. число неизвестных и число уравнений совпадает (если бы число неизвестных превышало число уравнений, то нужно было бы составить уравнения равновесия для второй части составной конструкции, а затем решать систему шести уравнений равновесия, полученных на двух этапах, относительно шести неизвестных).

Из (1)

.

Из (3)

.

Из (2)

.

Н, знак минус перед модулем вертикальной составляющей реакции подшипника В указывает на то, что она направлена по вертикали вниз, а не вверх, как мы предположили.

Итак мы нашли неизвестные, входящие в первую часть задачи:

.

6. Последние два пункта алгоритма выполним после решения второй части задачи (это особенность решения задач на равновесие составных конструкций).

Вторая часть. Задача 2.

1. Рассмотрим равновесие жёсткого угольника АСL.

2. Составим расчётную схему (рис.3):

к угольнику приложим заданные силы F ₂ и Q , которой мы заменили равномерно распределённую на участке CL нагрузку интенсивности q :

(Н);

и реакции связей – Х_А, Y_A, M_A (момент пары сил, возникающей в жёсткой заделке), а также реакция Y’_C - сила действия стержня ВС на угольник ACL (по модулю Y’_С = Y_c=16.347 H).

3. Для полученной на расчётной схеме уравновешенной произвольной плоской системы сил составим три независимых уравнения равновесия в форме:

(4)

(5) (6)

4. Решаем полученную систему алгебраических уравнений относительно X_A, Y_A, M_A:

Из (4)

(Н);

Из (5)

(Н)

Из (6)

Y

F₂

C E L 45⁰

Q

Y_A Y’_C

M_A

X_A

А

O X

Рис. 3

5. Проверим правильность полученного решения. Для этого, составной конструкции в целом, составим дополнительное уравнение равновесия в форме:

Y^/

Y_B

X_B

B

M

K

60⁰ F₂

F₁

30⁰ C L 45⁰

Q

Y_A

M_A X_A

А

Рис. 4

7. Л И Т Е Р А Т У Р А