Атом водню у класичній теорії

Скористаймося принципом відповідності для визначення сталої Ридберга. Згідно з класичною теорією Резерфорда, протон та електрон взаємодіють в атомі водню за законом Кулона (енергія ). Відповідно до законів Кеплера електрон рухається еліптичною орбітою, в одному з фокусів якої знаходяться протон (будемо вважати його нескінченно важким, тобто нерухомим). Кожній орбіті відповідає деяке значення енергії < 0 та деяка частота руху електрона.

Ці величини залежать лише від розмірів великої півосі еліпса:

; , (10.4)

де а – велика піввісь еліпса; Т – період обертання; е та m – відповідно заряд і маса електрона.

Із формул (10.4) випливає:

(10.5)

Під час свого руху електрон випромінює електромагнітні хвилі. Це випромінювання відбувається безперервно і супроводжується безперервним зменшенням енергії Е.

Цю картину зіставляємо зі стрибкоподібним процесом втрати енергії електроном, що передбачено теорією Бора. Перехід з (n + 1)-го стаціонарного стану у n-й за великих n має відповідати випромінюванню довгих хвиль (малих частот):

Оскільки n >> 1, то наближено маємо:

Скориставшись співвідношенням (10.3) для енергії стаціонарних станів, матимемо:

(10.6)

У граничному випадку великих n енергія Е_n змінюється практично неперервно внаслідок чисельних малих стрибків, тому спектр випромінюваних частот за принципом відповідності збігається з класичним спектром:

^{n → ∞}

Порівнюючи вирази (10.5) та (10.6) отримаємо:

(10.7)

де m = 9,11·10^-31 кг – маса електрона; е = 1,6·10^-19 Кл – заряд електрона; h = 6,63·10^-34 Дж·с – стала Планка, = h/2π; с = 3 ·10⁸ м/с – швидкість світла у вакуумі; ε₀= 8,85·10^-12 Ф/м – електрична стала.

Числове значення R = 3,288·10¹⁵ с^-1. Експериментальне значення R відоме з великою точністю ( ≈ 10^-6). Теоретичне значення (10.7) узгоджується з ним з точністю до 10^-4, що є великим успіхом теорії Бора.

Визначають R за довжиною хвилі випромінювання λ_mn за формулою

(10.8)

Необхідно зазначити, що спектр газів, які складаються з багатоатомних молекул, набагато складніші. Наприклад, у спектрі водню поряд з окремими, досить віддаленими одна від одної лініями, спостерігається велика кількість щільно розташованих ліній (багатолінійчастий або смугастий спектр водню). Смугастий спектр характеризує молекули водню, а спектр, який складається з окремих ліній, відповідає атомарному водню, що утворився у розрядній трубці внаслідок дисоціації молекул під дією розряду.

Використовуючи у роботі водневу лампу (ДВС-4), маємо можливість спостерігати як атомарний, так і молекулярний спектр, що на нього накладається. Отже, на це необхідно зважити під час вимірювань.

Атом водню у квантовій теорії

У загальному випадку атоми і молекули не підкоряються законам класичної механіки. Теоретичний опис їх станів можливий лише на основі квантової механіки і зводиться до розв’язання основного рівняння квантової механіки – рівняння Шредінгера. Для найпростішої системи (атома водню) воно має вигляд

де - хвильова функція електрона; = h/2π = 1,055·10^-34 Дж·с – стала Планка; Е – повна енергія і - потенціальна енергія електрона у атомі; r – відстань до ядра.

З цього рівняння, зокрема, виходить, що у зв’язаному стані (Е<0) електрон може мати лише одне з дискретних (квантових) значень енергії:

n = 1, 2, 3, …, (10.9)

де n – головне квантове число.

У іонізованому (тобто не зв’язаному, Е ≥ 0) стані енергія електрона може набирати будь-яких значень. На рис.10.1 показана діаграма можливих значень енергії електрона у атомі водню, розрахованих за (10.8).

Рис.10.1. Рівні енергії атома водню та утворення спектральних ліній.

Як видно з формули (10.9), енергія системи зростає зі збільшенням головного квантового числа (зменшується числове значення від’ємної енергії), а рівні ущільнюються. За n → ∞, Е → 0, а далі іде область неперервного спектру (Е>0), що відповідає іонізованому стану атома. Таким чином, енергія іонізації атома виявляється

Дж.

Відповідно до квантової теорії під час переходу атома зі стану Е_n у стан Е_m випромінюється фотон з енергією . Тому у відповідності до (10.9) у спектр атома – дискретні частоти (спектральні лінії)

(10.10)

Вираз (10.10), як і (10.1), називається узагальненою формулою Бальмера, а стала Ридберга у цьому випадку .

Довідники дають два значення сталої Ридберга. Одне з них стосується формули, за якою вираховуються частоти випромінювання і визначається воно за (10.7). Інше значення виходить з формули (10.10), за якою визначаються циклічні частоти . Як видимо, = 2 . Так само співвідносяться і сталі Ридберга.

На рис.10.1 зображено рівні енергії атома водню, а стрілками показано переходи між рівнями, що відповідають певним спектральним лініям. З рисунку видно, що лінії у спектрі водню можна рознести за серіями. Для всіх ліній серії значення n залишається сталим, а m може бути будь-яким, починаючи з m = n + 1 до ∞. Значення m = ∞ визначає межу спектральної серії.

У роботі вивчається серія Бальмера, деякі лінії якої знаходяться у видимій області спектра. Для перших чотирьох ліній цієї серії m набуває значень 3, 4, 5, 6. Ці лінії позначаються символами Н_α, Н_β, Н_γ, Н_δ.