11. Автокорреляция остатков и ее последствия.

Автокорреляция остатков определяется как корреляция между соседними значениями случайных отклонений во времени (временные ряды) или в пространстве (перекрестные данные). Она обычно встречается во временных рядах и очень редко – в пространственных данных. В экономических задачах значительно чаще встречается положительная автокорреляция  , чем отрицательная автокорреляция  .

Последствия:

1. Оценки параметров, оставаясь линейными и несмещенными, перестают быть эффективными. Они перестают быть наилучшими линейными несмещенными оценками.

2. Дисперсии оценок являются смещенными. Часто дисперсии, вычисляемые по стандартным формулам, являются заниженными, что влечет за собой увеличение t – статистик. Это может привести к признанию статистически значимыми факторов, которые в действительности таковыми не являются.

3. Оценка дисперсии регрессии является смещенной оценкой истинного значения σ², во многих случаях занижая его.

4. Выводы по t – и F – статистикам, возможно, будут неверными, что ухудшает прогнозные качества модели.

12. Предназначение и суть теста Дарбина – Уотсона.

Шаг 1. По уравнениям наблюдений объекта следует вычислить МНК-оценки и оценки случайных остатков.

Шаг 2. Вычислить величину

Шаг 3. Из таблицы, составленной Дарбиным и Уотсоном, по количеству n уравнений наблюдений и количеству k объясняющих переменных следует выбрать две величины

Шаг 4. Проверить, в какое из пяти подмножеств интервала (0,4) попала величина DW. Сделать вывод о присутствии/отсутствии автокорреляции.

Сначала по построенному эмпирическому уравнению регрессии определяются значения отклонений  . Рассчитывается статистика

 (65)

Связь выражается формулой:

 (67)

Отсюда вытекает смысл статистического анализа автокорреляции. Поскольку значения r изменяются от –1 до +1, DW изменяется от 0 до 4. Когда автокорреляция отсутствует, коэффициент автокорреляции равен нулю, и статистика DW равна 2. DW=0 соответствует положительной автокорреляции, когда выражение в скобках равно нулю (r=1). При отрицательной автокорреляции (r=-1) DW=4, и выражение в скобках равна двум.

Ограничения критерия Дарбина – Уотсона:

Критерий DW применяется лишь для тех моделей, которые содержат свободный член.

2. Предполагается, что случайные отклонения определяются по итерационной схеме

 (68)

называемой авторегрессионной схемой первого порядка AR(1). Здесь v_t - случайный член.

3. Статистические данные должны иметь одинаковую периодичность (не должно быть пропусков в наблюдениях).

4. Критерий Дарбина – Уотсона не применим к авторегрессионным моделям вида:

 (69)

которые содержат в числе факторов также зависимую переменную с временным лагом (запаздыванием) в один период.

Для авторегрессионных моделей предлагается h – статистика Дарбина

, (70)

где  - оценка коэффициента автокорреляции первого порядка (66), D(c) – выборочная дисперсия коэффициента при лаговой переменной y_t-1, n – число наблюдений.

13. Автокорреляция уровней временного ряда, автокорреляционная функция

Корреляционную зависимость между последовательными уровнями временного ряда называют автокорреляцией уровней ряда. Наличие автокорреляции указывает на взаимосвязанность уровней ряда динамики, на сильную зависимость последующих уровней от предшествующих. 

r_k = r(y_t, y_t-k) =

где, yt – уровень ряда в текущий период, yt-k – уровень ряда сдвинутый на к шагов ряда

к - величина ряда

Автокорреляционная функция – последовательность коэффициентов автокорреляции уровней ряда, ее графиком называется – коррелограмма.

Число периодов, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, называют лагом. С увеличением лага число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается.

Анализ автокорреляционной функции и коррелограммы позволяет определить лаг, при котором автокорреляция наиболее высокая, а следовательно, и лаг, при котором связь между текущим и предыдущими уровнями ряда наиболее тесная.

Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции первого порядка r(1), исследуемый ряд содержит только тенденцию. Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции порядка t , то ряд содержит циклические колебания с периодичностью в t моментов времени. Если ни один из коэффициентов автокорреляции не является значимым, можно сделать одно из двух предположений относительно структуры этого ряда: либо ряд не содержит тенденции и циклических колебаний, либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ.

Свойства коэффициента автокорреляции.

1. Он строится по аналогии с линейным коэффициентом корреляции и таким образом характеризует тесноту только линейной связи текущего и предыдущего уровней ряда. Поэтому по коэффициенту автокорреляции можно судить о наличии линейной (или близкой к линейной) тенденции. Для некоторых временных рядов, имеющих сильную нелинейную тенденцию (например, параболу второго порядка или экспоненту), коэффициент автокорреляции уровней исходного ряда может приближаться к нулю.

2. По знаку коэффициента автокорреляции нельзя делать вывод о возрастающей или убывающей тенденции в уровнях ряда. Большинство временных рядов экономических данных содержат положительную автокорреляцию уровней, однако при этом могут иметь убывающую тенденцию.