3. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Если для нахождения решения (или интеграла) дифференциального уравнения достаточно найти первообразные, то говорят, что дифференциальное уравнение приведено к квадратуре. Приведение обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка к квадратуре называют разделением переменных.

Примером уравнения, приведенного к квадратуре, является уравнение

.

Его частное решение, удовлетворяющее начальному условию , имеет вид

,

или

,

где – какая-либо первообразная функции . В справедливости последних соотношений можно убедиться, дифференцируя обе части по переменной x.

Если уравнение первого порядка имеет вид

,

(0.3)

то говорят, что переменные в уравнении разделены; уравнение ( 0 .3) называют с разделенными переменными. Это уравнение можно рассматривать как равенство двух дифференциалов. Неопределенные интегралы от них будут отличаться только постоянным слагаемым. Интегрируя левую часть по переменной x, а правую – по переменной y, получим:

.

(0.4)

Последнее соотношение является конечным уравнением, связывающим независимую переменную, искомую функцию и произвольную постоянную. Поэтому ( 0 .4) является общим интегралом уравнения ( 0 .3).

Например, для разделения переменных в уравнении

достаточно умножить обе части на dx:

.

Поэтому общее решение имеет вид: .

Нетрудно получить частное решение, удовлетворяющее условию ,

,

откуда

,

,

что совпадает с результатом, полученным выше по формуле Ньютона-Лейбница.

Если уравнение имеет вид : ,

причем , то его называют уравнением с разделяющимися переменными. Это уравнение можно привести к виду .

Например, в уравнении для разделения переменных достаточно умножить обе части на : ,откуда , ;функция является общим решением.

Одним из важнейших вопросов теории дифференциальных уравнений является вопрос о классах уравнений, приводящихся к квадратурам. Среди уравнений первого порядка к квадратурам приводятся, в частности, однородные уравнения, уравнения в полных дифференциалах и линейные уравнения.

4. Однородные уравнения

Уравнение называется однородным, если его правая часть является однородной функцией нулевой степени: .

Однородные уравнения интегрируются заменой

, , .

Пример. . Это уравнение – однородное; в этом можно убедиться, разрешая его относительно производной:

, .

Полагая , получим

, , ;

, ,

, .

Пусть требуется проинтегрировать уравнение

.

(0.5)

Если , то уравнение ( 0 .5) – однородное. Пусть c и c₁ одновременно не равны нулю. Выполним линейную замену , , так, чтобы в новых переменных уравнение стало однородным. Имеем:

,

,

.

Достаточно выбрать  и  так, чтобы суммы в скобках обратились в ноль:

.

Если основной определитель последней системы отличен от нуля, то  и  определяются единственным образом. Если он равен нулю, то

, , ,

поэтому уравнение ( 0 .5) имеет вид:

.

Для разделения переменных следует выполнить замену .

5. Уравнение в полных дифференциалах.

Пусть требуется проинтегрировать уравнение

,

(0.6)

причем для функций и выполнено

.

В этом случае правая часть ( 0 .6) является полным дифференциалом некоторой функции ; уравнение ( 0 .6) называют уравнением в полных дифференциалах.

Пусть функция обращает конечное уравнение

(0.7)

в тождество. Вычисляя дифференциалы обеих частей ( 0 .7), получим

.

Следовательно, ( 0 .7) является общим интегралом уравнения ( 0 .6). Интегральными кривыми уравнения являются линии , на которых функция сохраняет постоянное значение.

Так как

,

то входящие в уравнение ( 0 .6) функции и должны быть соответствующими частными производными:

, .

Интегрируя первое из этих равенств по переменной x, получим

,

где – произвольная функция, не зависящая от x. Для нахождения этой функции продифференцируем последнее соотношение по переменной y:

,

.

Любое частное решение полученного дифференциального уравнения будет искомой функцией (сохранять произвольную постоянную нет необходимости, так как она не оказывает влияния на вид общего интеграла исходного уравнения).

Пример. . Для функций и выполнено условие

(обе производные равны нулю), поэтому данное уравнение есть уравнение в полных дифференциалах. Имеем:

,

, , , ,

.

Общий интеграл уравнения имеет вид , или .

Заметим, что в данном примере уравнение можно решить, разделив переменные:

, , ,

что совпадает с полученным выше результатом.

Может оказаться, что уравнение не является уравнением в полных дифференциалах, однако становится им после умножения обеих частей на некоторую функцию . В этом случае последнюю функцию называют интегрирующим множителем. Поиск интегрирующего множителя является задачей не менее сложной, нежели интегрирование исходного уравнения.