Решение типового задания
Задание 1.
Найти общий интеграл дифференциального уравнения:
Решение:
Умножим обе части уравнения на (-1)
Разделим переменные:
Интегрируем обе части равенства:
Воспользуемся формулой:
Ответ: общий интеграл дифференциального уравнения
Задание 2.
Найти общий интеграл дифференциального уравнения
Решение:
Заданное уравнение относится к однородным уравнениям I порядка
Применим подстановку
,
тогда
.
Подставим в заданное уравнение:
Так
как
, тогда
Разделяем переменные:
.
Интегрируем обе части равенства:
, тогда
Ответ: общий интеграл дифференциального уравнения
Задание 3.
Найти решение задачи Коши:
Решение:
Данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением I порядка.
Применим
подстановку Бернулли
,
тогда
Выносим uза скобки:
Пусть:
Разделяем переменные:
Интегрируем:
Тогда
Интегрируем:
Таким
образом, если v=xи
,
тогда
или
Найдём частное решение, удовлетворяющее условию y(1)=1 , где
Следовательно,
частное решение, удовлетворяющее условию
y(1)=1 , имеет вид
Ответ:
Задание 4.
Решить задачу Коши:
Решение:
Заданное уравнение - уравнение Бернулли
Применим
подстановку
Получаем:
,
разделим обе части уравнения на (-x)
Полученное уравнение - линейное I порядка.
Воспользуемся методом Бернулли
Полагаем
Разделяем переменные:
Интегрируя, находим:
Интегрируем,
находим
,
тогда
Найдём решение задачи Коши:
Ответ:
Задание 5.
Найти решение задачи Коши:
Решение:
Дифференциальное уравнение II порядка, не содержащее независимой переменной.
Данное уравнение допускает понижение порядка.
Применим подстановку
Уравнение примет вид
Разделяем переменные
Интегрируя получаем
По условию
,
т.е.
.
Найдем
Тогда
или
где
т.е.
Разделяем переменные
Интегрируя, получаем
Найдем
,
если
Получаем
или
Ответ:
Задание 6.
Найти общее решение дифференциального уравнения:
Решение:
а) Найдём решение соответствующего однородного уравнения:
Составим характеристическое уравнение:
Общее решение однородного уравнения примет вид:
б) Найдём частное решение неоднородного уравнения:
Подставим
в исходное уравнение и найдём коэффициенты
A и В.
Разделим оба части уравнения на
Таким образом,
Общее решение неоднородного уравнения имеет вид
Ответ:
Задача 1. Найти общий
интеграл дифференциального уравнения.
(Ответ представить в виде
Задача 2. Найти общий интеграл дифференциального уравнения.
Задача 3. Найти решение задачи Коши
Задача 4. Найти решение задачи Коши
Задача 5. Найти решение задачи Коши
Задача 6. Найти общее решение дифференциального уравнения
Вопросы для самопроверки
1) Основные понятия теории дифференциальных уравнений.
2) Дифференциальные уравнения первого порядка.
3) Задача Коши
4) Дифференциальные уравнения, допускающие понижение степени.
5) Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами.
6) Линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами.