6.3. Біологічний зміст похідної
Нехай
залежність між числом особин
(одиниць)
популяції
мікроорганізмів
і часом
(с) її розмноження задано рівнянням
.
Нехай
― проміжок часу від деякого початкового
значення чисельності популяції, що
відповідає моменту
,
а
― приріст числа особин популяції.
Відношення
є середня швидкість розмноження або
середня продуктивність життєдіяльності
популяції. Виходячи з механічного змісту
похідної знаходимо швидкість розмноження
або продуктивність популяції в момент
часу
за формулою
.
Приклад.
Нехай популяція в момент часу
задається формулою
.
Знайти швидкість розмноження (росту)
популяції: в довільний момент часу
;
в момент часу
с.
Розв’язування.
Маємо:
;
.
6.4. Економічний зміст похідної
Розглянемо
виробничу функцію, яка визначає
відповідність між величиною витрат
і величиною (кількістю) одержуваного
продукту
.
Позначимо
через
зміну
витрат від деякого значення
до величин
.
Тоді
буде додатковий продукт, одержаний в
результаті збільшення витрат на величину
,
а відношення
― середня швидкість зміни величини
продукту. Тоді
буде виражати швидкість зміни маси
продукту при заданій величині витрат
(масу продукту, одержаного на одиницю
витрат). В цьому і є економічний зміст
похідної. В економічній літературі
називають граничним
продуктом,
вважаючи, що
― маса
продукту,
а
― витрати на його виробництво.
Приклад.
Приріст маси тварини
(кг)
у залежності від згодованої маси
кукурудзи
(кг) (при 12%-вім рівні вмісту білка в
раціоні) визначається за формулою
.
Знайти величину приросту, яка приходиться
на одиницю маси зерна кукурудзи, якщо
маса згодованого зерна
кг.
Розв’язування. Маємо
.
Таким
чином
.
Визначимо
.
Перевірка:
,
,
.
.
6.3. Зв’язок між неперервністю та диференційованістю функцій
Теорема.
Якщо
функція
диференційована в деякій точці
,
то вона в цій точці неперервна.
Доведення.
Якщо функція
диференційована в деякій точці
,
то згідно з означенням похідної при
існує
.
У
силу того, що границя змінної величини
відрізняється від самої змінної на
нескінченно малу величину
,
то маємо:
. (5)
Оскільки
– постійна величина, то з властивостей
нескінченно малих величин випливає, що
обидва доданки в правій частині є
нескінченно малі величини. Із (5) випливає,
що
.
Тобто функція неперервна.
Наслідок. З наведеної теореми випливає, що неперервність функції є лише необхідною умовою диференційованості функції.
Неперервна функція може бути недиференційована. Наприклад, функція
Рис. 3
Неперервна в точці (рис. 3), але не має похідної в цій точці тому, що:
,
.
Тобто границя залежить від способу прямування .
6.4. Правила диференціювання
1.
Похідна постійної величини С
дорівнює
нулю, тобто
.
Доведення.
Дійсно, нехай y
= C,
тоді Δy=0
для будь-якого Δx,
в тому числі й при Δx→0.
Тоді, згідно з означенням похідної
,
що і треба було довести.
2. Якщо функції u = u(x) і v = v(x) диференційовані в точці x, то похідна суми (різниці) функцій дорівнює сумі (різниці) похідних, тобто
.
Доведення. Згідно з означенням похідної
.
3. Якщо функції u = u(x) і v = v(x) диференційовані в точці x, то добуток цих функцій також має похідну, яка знаходиться за формулою
.
Доведення. Згідно з означенням похідної
4. Якщо функції u = u(x) і v = v(x) диференційовані в точці x і v(x)≠0, то частка цих функцій також має похідну, яка знаходиться за формулою
.
Доведення. Знайдемо приріст частки функції:
.
Згідно з означенням похідної
5.
Якщо
і функції f
та φ диференційовані відносно своїх
аргументів, то існує похідна по х
складної функції
,
яка знаходиться за формулою
.
6.
Нехай
і
– пара взаємно обернених функцій. Тоді,
якщо функція
строго монотонна на інтервалі
і має відмінну від нуля похідну
у довільній точці
цього інтервалу, то існує похідна від
оберненої функція
,
яка знаходиться за формулою
або
.