6.6. Похідні вищих порядків
До
цього часу ми розглядали похідну
від функції
,яку
називають похідною
першого порядку.
Але похідна
сама є функцією, яка може мати похідну.
Означення. Похідною n-го порядку називається похідна від похідної (n-1)‑го порядку.
Позначення
похідних:
– другого порядку (або друга похідна),
– третього порядку (або третя похідна).
Для
позначення похідних вищих порядків
використовуються арабські цифри і дужки
або римські цифри, наприклад,
або
і т.д.
Приклад.
Знайти перші три похідні від функції
Розв’язування.
.
6.7. Диференціал функції і наближені обчислення
Згідно
з означенням похідної функції
маємо
.
З другого боку, змінна величина відрізняється від своєї границі на нескінченно малу , тому
.
(6)
У
формулі (6) доданок
є нескінченно малою величиною вищого
порядку, ніж
.
Із цього випливає, що при
перший доданок у формулі (6) є головною
частиною приросту функції.
Він є лінійним відносно
.
Означення.
Головну
лінійну частину приросту функції
називають диференціалом
цієї функції.
Диференціал функції позначають через
або
.
Таким
чином,
.
Якщо взяти
,
тоді
,
а отже
.
Тому можемо записати формулу для
обчислення диференціала у вигляді
.
(7)
З
останньої рівності одержуємо, що
,
тобто похідну від функції можна трактувати
як відношення диференціалу функції до
диференціалу незалежної змінної.
Так
як
при
,
то із формули (6) випливає, що похибка у
наближеній рівності
(8)
дорівнює і є нескінченно малою більш високого порядку, ніж , коли .
Рівність
(8) часто використовується у наближених
обчисленнях. Зокрема, якщо
,
то
і рівність (8) набуває вигляд
.
(9)
Нехай,
наприклад,
.
Оскільки
і
,
,
то при достатньо малих х
маємо
.
Аналогічно
можна показати, що при достатньо малих
мають місце наближені рівності
,
,
,
.
Приклад
1. Обчислити
наближене значення
за допомогою диференціалу.
Розв’язування.
Розглянемо функцію
.
Покладемо
,
і застосуємо рівність (7), обчисливши
попередньо всі необхідні для цього
величини. Маємо:
;
;
;
;
.
Підставивши
знайдені величини в рівність (7), отримаємо
шукане наближене значення:
.
Приклад
2. Закон
накопичення сухої біомаси у винограду
сорту Шасла визначається рівнянням
,
де
― число днів від розпускання бруньок,
― накопичення біомаси в кг на 1 кущ.
Вияснити, як зміниться суха біомаса
куща при зміні
від 50 до 60 днів?
Розв’язування.
Зміна біомаси ― це приріст біомаси, яку
замінимо диференціалом
,
а зміна часу ― це приріст числа днів
.
Скориставшись формулою (6), (7), маємо:
(кг).
Питання для самостійної роботи
Дайте означення похідної в точці.
Який геометричний зміст похідної?
Який механічний зміст похідної?
Сформулюйте теорему про зв’язок між неперервністю і диференційованістю функції.
Чи буде: а) неперервна функція в точці диференційовною в цій точці; б) диференційовна функція в точці неперервною в цій точці?
Чому дорівнює похідна сталої функції?
Чому дорівнює похідна суми (різниці) функції?
Чому дорівнює похідна добутку функції?
Чому дорівнює похідна частки функції?
Чому дорівнює похідна складної функції?
Чому дорівнює похідна сталої функції?
Як знаходиться похідна оберненої функції?
Чому дорівнює похідна логарифмічної функції?
Чому дорівнює похідна степеневої функції?
Чому дорівнює похідна тригонометричних функції:
,
,
,
?Чому дорівнює похідна обернених тригонометричних функції:
,
,
,
?Чому дорівнює похідна функції, заданої неявно?
Чому дорівнює похідна функції, заданої параметрично?
Дайте означення похідної n-го порядку функції .
Дайте означення диференціала функції .
Наведіть приклади часто вживаних наближених формул.
Завдання для самостійної роботи
1. Знайти похідні першого порядку заданих функцій:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11.
|
|
|
14.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
2. Знайти похідні першого порядку функцій, заданих неявно та параметрично:
|
|
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
3.
Який кут утворює з віссю абсцис дотична
до параболи
,
яка проведена в точці М(2;
3)? Записати рівняння цієї дотичної.
4.
Скласти рівняння дотичної до кривої
у точці
М(1;-1).
5.
Скласти рівняння дотичної до гіперболи
,
проведеної у точці М(-9;
-8).
6. Знайти похідні другого порядку:
а)
,
б)
,
в)
,
г)
,
д)
,
е)
,
ж)
,
з)
.
7.
Знайти похідні третього порядку: а)
,
б)
.
8. Обчислити наближені значення:
а)
,
б)
,
в)
,
г)
.