2. Способы анализа сигнала (временной и спектральный).
ВРЕМЕННОЙ
Наиболее распространенным частотно-временным распределением, существующим на сегодняшний день, является кратковременное превращение Фурье (кратковременный спектр).
(1)
где 
–
кратковременное аналитическое окно,
локализованное вокруг t=0 и t=0.
Перемножение
сигнала с относительно коротким
окном 
эффективно
подавляет этот сигнал за пределами
некоторой окрестности мгновения t=t. КПФ
– это локальный спектр сигнала x(t) вокруг
мгновения t.
Исходя из того, что кратковременное
окно имеет конечную энергию, возможно
провести операцию обратную КПФ:
(2)
где 
Это
выражение показывает, что весь сигнал
может быть восстановлен как сумма
взвешенных волновых форм.
(3)
Эти формы можно интерпретировать, как некоторые «строительные блоки» или «атомы». Каждый атом может быть получен путем переноса окна h(t) во времени и по частоте (модуляцией). КПФ можно также выразить в терминах спектра сигнала и спектра аналитического окна:
(4)
где Х и Н соответственно
спектры х и h.
Таким
образом, кратковременное преобразование
Фурье можно рассматривать как результат
пропускания сигнала х(t) через фильтры
с частотной характеристикой 
,
то есть полученные из материнского
фильтра путем перенесения его частотной
характеристики 
на
частоту f.
Фактически КПФ является банком полосовых
фильтров с постоянной полосой
пропускания.
Разрешающую
способность КПФ во времени можно
получить, рассмотрев в качестве x импульс
Диракля:
(5)
То есть разрешающая способность КПФ во времени пропорциональна эффективной длительности аналитического окна h. Аналогично, чтобы получить разрешающую способность КПФ по частоте необходимо рассмотреть комплексную синусоиду (импульс Диракля в частотной области):
(6)
То есть разрешающая способность КПФ пропорциональна эффективной полосе аналитического окна h. Отсюда следует, что разрешающая способность по частоте и во времени для кратковременного преобразования Фурье всегда является компромиссом: с одной стороны, большая разрешающая способность во времени требует короткого окна h(t); с другой стороны, большая разрешающая способность по частоте требует узкополосного фильтра, то есть длинного окна h(t). К сожалению оба этих условия не могут быть гарантированы одновременно. Чтобы уменьшить избыточность непрерывного кратковременного преобразования Фурье, можно дискретизировать его по времени и по частоте. Поскольку атомы, которые используются, можно определить из окна h(t) его перенесением во времени и по частоте (модуляция), то естественной будет дискретизация КПФ как квадратной решетки:
.
(7)
Проблема
заключается в выборе интервалов
дискретизации t0 и f0,
чтобы минимизировать избыточность без
потери информации. Для последнего
необходимо, чтобы выполнялось условие 
.
Тогда атомы hnt0,mf0 образуют
семейства дискретных неортогональных
элементов, которые называют кадрами.
Если же 
,
тогда частотно-временная проекция будет
недостаточно «покрыта» атомами hnt0,mf0,
то есть будут иметь место пробелы между
соседними атомами.
Если 
,
то семейства атомов hnt0,mf0,
могут образовывать ортогональный базис
при соответствующем выборе аналитического
окна h(t). Но
можно показать, что невозможно получить
такой базис из окна h,
которое хорошо локализовано во времени
и по частоте. Следовательно, для хорошо
локализованного окна (например
гауссовского) формула для воссоздания
сигнала будет численно неустойчивой.
Для
дискретного случая формула для воссоздания
сигнала из кратковременного преобразования
Фурье имеет следующий вид:
(8)
где 
.
Это
отношение действительно, когда периоды
дискретизации t0 и f0,,
аналитическое окно h,
и синтезирующее окно g,
связаны соотношением:
(9)
определяется
как 
и 
,
если 
.
Для
дискретизированого сигнала x[n], период
дискретизации какого Т, t0 должен
быть избран таким образом, чтобы t0=kТ, 
.
Исходя из этого имеем следующие формулы
для анализа и синтеза:
(10)
(11)
Методы спектрального анализа получили широкое распространение при измерении различных электрических и неэлектрических величин. Это объясняется тем, что во многих практических случаях возникает потребность представления сигналов не только во временной, но и в частотной области измерения и определения на этой основе значений параметров этих сигналов.
Как
известно в теории сигналов произвольная
функция 
может
быть представлена обобщенным рядом
Фурье:
.
(12.1)
В спектральной теории сигналов наибольшее распространение получили системы, в основу которых положен тригонометрический базис. Периодическая функция может быть представлена рядом Фурье одним из следующих видов:
;
(12.2)
;(12.3)
.(12.4)
При
этом спектр периодической функции имеет
дискретный по частоте спектр. Совокупность
коэффициентов 
принято
называть амплитудно-частотным спектром,
а 
-
фазо-частотным спектром сигнала.
Для спектрального анализа непериодических сигналов используется интеграл Фурье. Прямое преобразование Фурье позволяет переходить из временной области в частотную.
.
(12.5)
Обратное преобразование Фурье наоборот обеспечивает переход из частотной области во временную:
.
(12.6)
В целом оба преобразования связывают между собой вещественную функцию времени и комплексную функцию S(ω).
Из данных формул следует, что спектр непериодической функции является сплошным. При анализе сигналов в реальном времени используют понятие текущего и мгновенного амплитудного спектра. Эти понятия позволяют в определенной мере проследить взаимосвязь между идеальным спектром и спектром периодического сигнала. Так спектр непериодического сигнала в виде одиночного импульса является сплошным. Для периодического сигнала, когда время наблюдения сигнала больше его периода, спектр линейчатый. Спектр пачки импульсов (периодической последовательности импульсов) занимает промежуточное положение. Оставаясь сплошным, он имеет выраженные максимумы на частотах дискретного спектра. Отличие мгновенного спектра от идеального зависит от того, насколько полно успевают проявиться особенности сигнала на интервале анализа.