3.1. Раціональні вирази

Математичний вираз – це вираз, що містить числа й букви пов’язані між собою формулами, що мають математичний зміст.

Найпростішими з математичних виразів є раціональні вирази, які в свою чергу поділяються на цілі раціональні вирази і дробово-раціональні вирази.

Цілі раціональні вирази розглядаються у сьомому класі середньої школи. Дробово-раціональним виразом називається математичний вираз, що містить числа й букви у натуральних степенях, які пов’язані між собою знаками дій: плюс, мінус, помножити, поділити, піднесенням до натурального степеня. Порядок виконання цих дій може бути вказаний за допомогою дужок, обов’язково має містити ділення на раціонально математичний вираз, що містить букви.

Згідно діючої програми, подібні вирази складають основну частину першого розділу курсу алгебри восьмого класу.

Проаналізуємо, як поняття раціонального виразу вводиться у основних трьох підручниках алгебри восьмого класу.

У підручнику [1] спочатку вводиться поняття частки від ділення одного математичного виразу на інший. При цьому, наявність такої частки означає що перший вираз ділиться на другий. При цьому природно факт ділення встановлюється за допомогою операції множення. Але у сьомому класі учні навчилися множити лише цілі раціональні вирази. Звідси випливає, що треба розуміти, що мова йде лише про ділення цілих раціональних виразів. Про це і свідчать перші практичні завдання даного підручника, у яких проводиться ділення одночленів та многочленів. При цьому зрозуміло, що далеко не будь який одночлен і многочлен взагалі діляться на запропоновані одночлени та многочлени. Тобто ділення поки що реально розглядається як дія над цілими раціональними виразами. Тут доцільно було б розглядати і ділення з остачею, принаймні на множені многочленів, але у даному підручнику про це не сказано жодного слова.

Далі вводиться поняття алгебраїчного дробу, як виразу виду а/в, де а і в певні многочлени,многочлен в обов’язково містить принаймні одну букву.

Як відомо, ОДЗ математичного виразу або областю допустимих значень змінних , що входять до математичного виразу утворюють ті та тільки ті дійсні числа, при яких вираз має зміст, як математичний вираз. У будь якому цілому алгебраїчному виразі всі букви можуть приймати будь які дійсні значення (тобто, якщо цілий алгебраїчний вираз містить букви а, в і с, то його ОДЗ має вигляд: aєР, вєР і сєР). Тобто ОДЗ цілих раціональних алгебраїчних виразів є цілком очевидним і саме тому «як правило» його не вказують.

Раціональні дроби не мають зміста тоді й тільки тоді, коли знаменник цих дробів дорівнює нулю. Тому найчастіше такі дроби мають суттєве ОДЗ. Для його знаходження треба всі знаменники прирівняти до нуля, знайти значення букв, при яких ці знаменники дійсно дорівнюють нулю і виключити подібні значення букв із множини Р дійсних чисел.

Таким чином, знаходження ОДЗ раціонального дробу вимагає розв’язання рівняння, яке містить стільки невідомих, скільки букв у знаменнику.

Два математичні вирази називаються абсолютно тотожно-рівними, якщо:

1. Вони містять однакові букви, або можна так вважати;

2. Мають однакові ОДЗ;

3. Приймають однакові значення при будь яких однакових значеннях букв, що входять до цих ОДЗ.

Два математичні вирази називаються відносно – тотожно рівними, якщо:

1. Вони містять однакові букви, або можна так вважати.

2. Вони можливо мають різні ОДЗ

3. Приймають однакові значення, при будь яких однакових значеннях букв, що входять до ОДЗ і першого і другого виразу.

Таким чином, якщо два вирази є абсолютно тотожними, то вони є і відносно тотожно рівними, але не обов’язково навпаки.

Будь яких два цілих раціональних вирази або є абсолютно тотожно рівними, або не є тотожно рівними, а ні абсолютно, а ні відносно.

Тотожнім перетворенням математичного виразу називається заміна його тотожно рівним до нього математичним виразом, абсолютно або відносно.

Таким чином бувають абсолютні та відносні тотожні перетворення.

У сьомому класі, де розглядаються лише цілі раціональні вирази, різниці між такими перетвореннями немає. У восьмому класі, з появою раціональних дробів, така різниця виникає. Вона часто виявляється суттєвою при розв’язуванні відповідних рівнянь і нерівностей. Тому при проведенні тотожних перетворень математичних виразів, краще усвідомлювати якою є та чи інша тотожність, абсолютною чи не абсолютною.

Нажаль, у підручнику [1] не наведено подібних означень тотожно рівних виразів. Не відокремлюються і абсолютні і відносні тотожності.

Після алгебраїчних дробів у підручнику[1] розглянуто основні властивості алгебраїчного дробу і скорочення алгебраїчних дробів. Саме при подібних перетвореннях, найчастіше за все відбувається зміна ОДЗ алгебраїчного дробу, тому саме тут доцільно було б говорити про абсолютні і відносні тотожності .

У наступному параграфі мова йде взагалі про раціональні вирази як дробові так і цілі. При цьому дробовими виразами називаються такі раціональні вирази, які містять ділення на вираз із буквами. Подібним ділення може позначатися не тільки рискою дробу, а й двома крапками.

Як правило, дробово – раціональні вирази мають суттєве ОДЗ: всі дільники не повинні приймати нульових значень.

Далі у [1] розглядається додавання і віднімання, множення і ділення алгебраїчних дробів, як відповідні тотожні перетворення.

Таким чином, у підручнику [1], поняття дробово – раціонального математичного виразу формується поступово, за принципом, від «простого до складного», починаючи від цілих раціональних виразів.

У підручнику [2] обрану іншу послідовність викладення матеріалу присвяченому раціональному виразу.

На початку підручника розташовані лише відповідні практичні завдання у тестовій формі (на кожне завдання задані по 5 варіантів відповідей).

Наприкінці підручника розташований невеликий довідничок з теоретичних питань, які відносяться до курсу алгебри сьомого класу. Якщо у учня виникають проблеми з розв’язанням запропонованих тестових завдань, він може звернутися до цього довідника.

Там же, наприкінці підручника, розташовані завдання для повторення курсу алгебри сьомого класу, вже не у тестовій формі. Для більшості з цих завдань (як і для більшості всіх завдань розташованих у даному підручнику) наприкінці підручника розташовані відповіді.

На початку викладення матеріалу, посередньо восьмого класу, автори одразу вводять означення раціонального математичного виразу.

При цьому автори підкреслюють, що такі вирази бувають як цілими так і дробовими (із цілими учні вже знайомі із курсу сьомого класу). Серед дробових окремо виділяють раціональні дроби.

Тут, одразу вводяться поняття про ОДЗ раціонального виразу: «значення змінних, при яких можливі всі математичні дії, що містить раціональний вираз, називають допустимими значеннями змінних». Наводяться приклади знаходження ОДЗ. Нажаль, лише автори не звертають увагу на те, що для знаходження ОДЗ треба розв’язувати відповідні рівняння.

Вже далі розглядається основна властивість раціонального дробу, додавання, віднімання, множення і ділення таких дробів, вводяться поняття про тотожність. При цьому, фактично, тотожністю називаються відносна тотожність, поняття про абсолютні та відносні тотожні перетворення не вводяться взагалі.

Ми вважаємо, що у восьмому класі немає сенсу окремо розглядати додавання і віднімання раціональних дробів з однаковими та різними знаменниками, якщо додавання і віднімання звичайних дробів ретельно вивчено у курсі п’ятого та шостого класів.

Так як і підручник [2], підручник [3] починається з введення поняття раціонального виразу.

Але поняття раціонального виразу, на мою думку, правильно і зрозуміло: автор починає з цілих раціональних виразів (які учні вивчили у сьомому класі), нагадує учням означення і наводить приклади. Після цього автор приводить приклад дробово – раціонального виразу. І тільки після цього дає означення раціонального виразу.

Потім автор говорить про ОДЗ. Як на мене, означення коротке, але доступне для учнів.

В параграфі 2, учні знайомляться з основною властивістю раціонального дробу. В цьому ж параграфі автор говорить про тотожно – рівні дроби. При цьому поняття про абсолютні і відносні тотожності не вводяться, відповідні приклади не наведені.

Далі вивчається додавання і віднімання дробів з однаковими, а потім і зрізними знаменниками.

Після кожного параграфа йде ряд практичних завдань, для відпрацювання та закріплення знань по вивченій темі.

Але після перших чотирьох параграфів ідуть практичні завдання (невелика робота на перевірку знань).

Після цього розглядається множення дробів та піднесення до степеня. Не надто прискіпливо розглядається піднесення до степеня. Ділення дробів розглядається окремо. Але ж множення та ділення дробів дуже ретельно вивчається у шостому класі, тому, напевно, немає сенсу розглядати це як дві окремі теми.

Після цього всього учні знайомляться з тотожними перетвореннями раціональних виразів. На прикладах автор показує в чому сутність тотожніх перетворень, та як правильно їх вирішувати.

3.2. Квадратний тричлен

Одним із простих типів цілих раціональних виразів є квадратний тричлен.

За програмою і за підручниками теорію квадратних тричленів віднесено до останнього розділу курсу алгебри восьмого класу і пов’язано з теорією квадратних рівнянь. Останнє є повністю доцільним, а ось передування теми «Раціональні вирази» темі «Квадратний тричлен» викликає певні сумніви.

У повному узгодженні із основними означеннями теорії квадратних рівнянь вводиться поняття дискримінанта та кореня квадратного тричлена.

У теорії квадратних рівнянь автори не є послідовними і одностайними. Традиційно у питанні скільки коренів має квадратне рівняння, для якого дискримінант D = 0. Незалежно від прийнятих означень, якщо для квадратного тричлена D = 0, то він розкладається у добуток нетривіальних (тобто таких, що не дорівнюють постійному числу) лінійних множників і про можливість такого розкладання у теорії квадратних тричленів треба вести мову. А жодний із авторів підручника [1], [2] і [3] взагалі не розглядають цей випадок.

У підручнику [1] це є суттєвим недоліком, тому що за цим підручником, вважається що у даному випадку квадратне рівняння має один корінь.

У підручнику [2], за означенням вважається що квадратне рівняння має 2 корені,які співпадають. Тому у [2]факт розкладання квадратного тричлена на множники випливає із справедливості загальної теореми: « - корені квадратного тричлена але для розв’язання практичних завдань цей випадок є суттєвим і вимагає окремого зауваження.

У підручнику [3] так як і у підручнику [2] вважається що квадратне рівняння має 2 корені, які співпадають.

У всіх підручниках факт відповідного розкладання доведений із використанням теореми Вієтта, але це не є обов’язковим. Можливим і у певному сенсі доцільним є варіант доведення із використанням формули коренів квадратного рівняння за допомогою безпосередньої підстановки.

Серед завдань найпростішого рівня відповідних параграфів або підручників, містяться завдання, у яких вимагають «скоротити дріб». Мова йде про скорочення дробово – раціональних виразів на раціональні множники, які є відмінними від постійних.

У значній кількості випадків мова йде про виконання відносного тотожного перетворення, про що варто вказувати учням. Але у розглянутих нами підручниках, цього немає.