6. Если то , 7. ,
8. Если то ,
9. существует такое
,
что
10. если f
непрерывна то сущ. точка
,
что
.
Теорема 1. (ДОК)
является первообразной для
.
Теорема 2. (ДОК)
Ньютона-Лейбница.
.
Примеры
.
Неделя 4. Лекция 5.3.2015
Вид формулы интегрирования по частям для опред. интеграла.
Особенности замены
переменной в определённом интеграле
(пересчёт пределов интегрирования, не
возвращаться к старой переменной).
Пример. .
=
изменение интервала при замене.
Приложения определённых интегралов.
Вычисление площадей.
Найти площадь фигуры, ограниченной
линиями
+
=
.
Вычисление объёмов
тел вращения. Вывод формулы
,
(ДОК)
Пример: доказательство этим методом формулы объёма шара.
Пример. Найти V
получающийся при вращении кривой
,
.
Отв.
.
Длина дуги кривой.
Вывод формулы для явно заданной кривой
.
(ДОК)
Пример. Длина
кривой
.
Для параметрически заданной в плоскости и пространстве:
.
.
Длина кривой в
полярной системе координат:
.
§5. Несобственный интеграл. Вводные примеры: , .
Определения несобственных интегралов 1-го (неограниченная D(f)) и 2-го рода (неограниченная E(f)). Сходимость, расходимость.
ДОК, что несоб.
интеграл 1-го рода
сходится при
,
а интеграл 2-го рода
при
.
Примеры:
,
,
.
Неделя 5. Лекция 12.3.2015 Несобственный интеграл.
Теорема 1.
сходится
первообразная имеет конечный предел
.
Следствие.
сходится
.
Теорема 2. Признак
сравнения в конечной форме. Если
и сходится интеграл
,
то сходится и интеграл
.
Пример.
Теорема 3. Признак
сравнения в предельной форме. Если
,
причём константа C
отлична от 0 и от
,
то интеграл
сходится
тогда и только тогда, когда сходится
.
Пример.
Определение абсолютной сходимости. Из абсолютной сх-сти следует обычная (доказывается по признаку сравнения).
§6. Кратные интегралы. Определение. Геометрический и физический смысл.
Кратные интегралы, двойные, тройные. Свойства. Вычисление двойных интегралов по прямоугольной и непрямоугольной области. Геометрический смысл. Объём под поверхностью.
Сведение к повторным: интегрирование величин всех площадей криволинейных трапеций в сечениях по перпендикулярному направлению.
Аналогично, массив в программировании может быть не прямоугольным, тогда во внутреннем цикле двойного цикла границы переменные и зависят от переменной, определённой во внешнем цикле:
for i : = 1 to 10 do for j : = 1 to i do read (a[i,j]); end; end;
Примеры:
(1/4)
(1/8)
Смена порядка
интегрирования: Пример:
=
=
=
Вычисление тройных
интегралов. Примеры. Вычислить
(1/8)
При f = 1 площадь (если двойной) или объём (если тройной) интеграл.
Неделя 6. Лекция 19.3.2015 Кратные интегралы
Пример. Найти объём тетраэдра с вершинами (0,0,0), (1,0,0), (1,1,0), (1,1,1). (1/6)
Приложения кратных интегралов. Площадь поверхности.
Площадь параллелограмма вычисляется с помощью векторного произведения векторов (1,0,f ‘x), (0,1,f ‘y).
Формула площади
явно заданной поверхности:
.
Замена переменных в кратных интегралах. Полярные координаты на плоскости:
.
Определитель Якоби:
.
При замене двух старых на две новые переменные в плоскости, существует уже 4 различных частных производных, и из них можно образовать матрицу 2-го порядка.
=
Определитель:
=
.
Геометрический смысл определителя Якоби - правильный учёт искажений (деформаций).
Чертёж - слева в
плоскости параметров
,
справа в плоскости
.
множитель,
появляющийся при замене переменной в
неопределённом или определённом
интеграле. Так, если
,
то при замене пишем
.
Множитель
фактически и является одномерным
якобианом, но только для матрицы порядка
1 определитель вычислять было не нужно,
так как он совпадает с самим этим
элементом.
Пример:
Вычислить интеграл
где D
-
часть круга единичного радиуса в первой
четверти плоскости. Решение.
=
=
=
=
=
=
=
=
=
.
Пример: Доказать формулу площади круга с помощью полярных координат.
Решение.
=
=
=
=
=
.
Цилиндрические и сферические координаты в пространстве.
Существует два различных обобщения полярных координат для трёхмерного пространства.
и
.
Определитель Якоби
и
соответственно.
Криволинейные интегралы от векторной функции. Определение. Свойства, геометрический и физический смысл. Работа силы по перемещению точки по кривой.
Пример. Вычислить работу поля F = (xy, x+y) по участку параболы от (0,0) до (1,1).
Неделя 7. Лекция 26.3.2015 ГЛАВА 2. Дифференциальные уравнения