Глава 3. Теория вероятности.

§ 1. Комбинаторика, события, понятие вероятности, примеры.

Классическое определение вероятности - число благоприятных событий по отношению к числу всех, m/n.

Число всех перестановок

Число всех размещений m элементов из n, с учётом их порядка

Число сочетаний из n по m, без учёта порядка

Пример. Даны натуральные числа от 1 до 30. Сколько способов выбрать 3 из них, так чтобы сумма была чётная.

Чётных и нечётных по 15 из 30. Если все 3 чётных то . Если 2 нечётных и 1 чётное, то . Ответ 2030. Всего сочетаний 4060 = . Вероятность, что сумма трёх чисел чётна, 1/2.

Пример. Есть 10 книг, 7 и трёхтомник одного автора. Какова вероятность, что при произвольной расстановке на полке, 3 книги трёхтомника окажутся рядом.

Всего вариантов расстановки 10! Если 3-томник посчитать за один объект, то объектов 8, их расположений 8!. При этом 3 книги можно расположить ещё 3! способами. Итак, .

События. Зависимые и независимые события. Объединение и пересечение, соотв. сумма и произведение событий.

Пример. Монета подброшена 3 раза. Найти вероятность, что: 3 раза герб, 3 раза цифра, что выпали разные.

ГГГ, ГГЦ, ГЦГ, ГЦЦ, ЦГГ, ЦГЦ, ЦЦГ, ЦЦЦ. Вероятность: 1/8, 1/8, 6/8.

Пример. В коробке 4 белых, 9 чёрных и 7 зелёных шаров. Найти вер. что 1-й случайно выбранный белый, что 2-й белый, что оба белые. , , .

Пример. Кубик подбросили 2 раза. Найти вероятности, что сумма очков 2,3,... 12.

	1	2	3	4	5	6
1				*
2			*
3		*
4	*
5
6

* показаны случаи, когда сумма равна 5.

	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
P

Пример. Два стрелка стреляют с вероятность попадания в мишень 0,7.

Найти вероятности событий: 0, 1, 2 попаданий.

0,3*0,3 0,3*0,7+0,7*0,3 0,7*0,7

	0	1	2
P	0,09	0,42	0,49

Геометрическая вероятность.

Пример. Точка случайным образом брошена в квадрат. Найти вероятность, что она попадёт во вписанный круг. Решение. Половина стороны квадрата равна R. Тогда .

Пример. Вероятность того, что метеорит упадёт именно в полосе между широтами и .

= площадь слоя по отношению к площади всей сферы.

Пример. Посещаемость у каждого студента равна 0,9. Группа из 10 студентов. Найти вероятность, что на занятие придёт вся группа и что никто из группы.

. .

Неделя 11. Лекция 23.4.2015

Объединение и пересечение (сумма и произведение событий).

Сначала на примере геометрических множеств. .

Пример. Схема с параллельным соединением, вероятность исправности 0,9 и 0,8 соответственно. Найти вероятность, что ток пройдёт. Отв. 0,98. Разные подходы. Либо 0,9 + 0,8 от оставшегося периода времени (0,1) либо по формуле .