1. Інтервальний метод Ньютона

Припустимо, що – неперервно диференційована функція, що має нуль на інтервалі x, тобто Тоді для будь якої точки з того ж інтервалу в силу теореми про середнє значення :

Де 𝜉 – деяка точка між . Ну так, як , звідси слідує :

Якщо являється яким-небудь інтервальним розширенням похідної функції на x, то і

Означення. Для заданої функції f відображення

Діє згідно правила:

Називається інтервальним оператором Ньютона.

Припустимо, на деякий час, що , так що являється кінцевим оператором. Так як, будь який нуль функції на x лежить також і в , то доречно взяти в якості наступного більш точного наближення до розв'язання перетину

яке виявиться, принаймні, не гірше x.

Далі, якщо , ми можемо надати сенс оператору Ньютона, скориставшись інтервальною арифметикою. В дійсності ця модифікація навіть підсилить інтервальний метод Ньютона, так як ми отримаємо можливість відокремлювати розв'язок один від одного: в результаті виконання кроку інтервального методу Ньютона при ,отримаємо , як правило, два непересічних інтервали.

2. Поняття лінійного функціонального інтервалу

Дві функції f₁(x) і f₂(x) такі, що f₁(x) f(x) f₂(x) при всіх значеннях аргументу x ∈ X називаються мінорантою та мажорантою функції f(x) на інтервалі X, відповідно.

Означення. Функціональним інтервалом, функціональним обмежником на інтервалі X будемо називати параметризовану множину інтервалів [f₁(x), f₂(x)], де f₁(x) f₂(x), а параметром є аргумент x ∈ X , і будемо позначати його відповідно F(X ) , або {X, f₁(x), f₂(x)}.

Для спрощення, в тих випадках, коли це не породжуватиме непорозуміння, не будемо наголошувати на тому, що функціональний інтервал визначений на відповідному інтервалі X і подаватимемо його у вигляді [f₁(x), f₂(x)].

Означення. Перерізом функціонального обмежника {X, f₁(x), f₂(x)} в точці називатимемо інтервал [f₁( ), f₂( )].

Означення. Реалізацією функціонального інтервалу {X, f₁(x), f₂(x)} називатимемо кожну функцію f(x) , графік якої на інтервалі X належить цьому обмежнику, тобто f₁(x) f(x) f₂(x), а функції f₁(x), f₂(x) - обмежувальними функціями.

Використавши арифметичні операції над функціональними інтервалами, тип обмежувальних функцій результату може змінюватися, а зі збільшенням кількості дій їхні аналітичні вирази стрімко ускладнюються. Крім того, зазвичай проміжки знакосталості обмежувальних функцій різні, щоб їх знайти, треба розв’язувати трансцендентні рівняння, що також створює додаткові труднощі. Тому зосередимо основну увагу на функціональних інтервалах, у яких всі обмежувальні функції кусково-лінійні.

Означення. Функціональні інтервали, в яких усі обмежувальні функції кусково-лінійні називаються лінійними функціональними інтервалами, лінійними функціональними обмежниками, або лінійними інтервальними обмежниками.

Лінійний інтервальний обмежник заданої функції f(x), як і кожен її функціональний інтервальний обмежник та й її інтервальне розширення, визначений неоднозначно. Наприклад, якщо функція f(x) монотонна й опукла, то для побудови його з лінійними обмежувальними функціями можна використати дотичну в кінці або в середині інтервалу X, та січну.

Рис.1. Лінійні інтервальні обмежники функцій y = x²+x+3 та y = ln(x +1)+2 на інтервалі X=[−0.5, 1.5] побудовані за різними алгоритмами

Лінійний інтервальний обмежник позначається L(X) , або {X , (x), (x)} . Якщо l(x) = k x + m , l (x) = x + , де k, m, , – константи, то відповідний лінійний інтервальний обмежник {X , k x + m, x + } називатимемо елементарним лінійним інтервальним обмежником. Лінійний інтервальний обмежник {X, l(x), l(x)} називається виродженим. Обмежники вигляду {X , c, c}, де c – константа, називатимемо сталими. Очевидно, що сталі обмежники в арифметиці лінійних інтервальних обмежників відіграють роль констант.