2.3. Вычисление длин дуг

Пусть гладкая (непрерывно дифференцируемая) кривая задана уравнением , где . Тогда длина дуги в прямоугольной системе координат равна

. (2.7)

Если кривая задана параметрически, т. е. , и , – значения параметра , соответствующие концам дуги, причем и при изменении от до точка один раз без возвратных движений пробегает всю дугу, то длина дуги равна

. (2.8)

Если считать, что – уравнения движения точки, и не накладывать никаких ограничений, кроме условия непрерывнос­ти самих функций и их производных, то формула (2.8) будет выра­жать не длину дуги, на которой лежит траектория, а путь, пройден­ный точкой по траектории за время от до .

Если гладкая кривая задана в системе полярных коор­динат: , то длина дуги соответствующего отрезка кривой равна

, (2.9)

где и – значения полярного угла соответственно начала и конца дуги.

Пример 2.9. Найти длину дуги кривой , отсеченной пря­мой .

Решение. Найдем производную функции : .

Тогда, в силу симметрии кривой, достаточно вычислить длину ее половины. По формуле (2.7) имеем

.

Пример 2.10. Найти длину одной арки циклоиды , (рис. 12).

Рис. 12

Решение. Имеем , . Тогда по формуле (2.8) получим

Рис. 13

Пример 2.11. Вычислить длину астроиды , (рис. 13).

Решение. По формуле (2.8) найдем четверть длины астроиды:

Тогда длина астроиды .

Пример 2.12. Найти длину кардиоиды (рис. 14).

Решение. В силу симметрии кривой достаточно вычислить длину её половины. По формуле (2.9) находим, что

Рис. 14

Найти длины дуг следующих кривых:

2.53. .	2.54. .
2.55. .	2.56. .
2.57. .	2.58. .
2.59. .	2.60. .
2.61. , .	2.62. , , .

2.63. Найти длину дуги кривой от точки до точки .

2.64. Найти длину полукубической параболы , лежащей внутри параболы .

2.65. Найти длину полукубической параболы , отсекаемой прямой .

Найти длины дуг следующих кривых:

2.66. , , .

2.67. , , .

2.68. Найти длину дуги кривой , между точками её пересечения с осями координат.

Найти длину петли кривой:

2.69. , .	2.70. , .
2.71. , .	2.72. , .

Найти длины дуг следующих кривых:

2.73. , .

2.74. , , (эволюта эллипса).

2.75. , .

2.76. , .

2.77. , .

2.78. , .

2.79.  , при (развёртка окружности).

2.80. , .

2.81. , .

2.82. , .

Найти длины следующих кривых:

2.83. (спираль Архимеда) при . 2.84. , находящейся внутри окружности .
2.85. .	2.86. , .
2.87. .	2.88. .
2.89. при .	2.90. .

Ответы:   2.53.  .     2.54.  . 2.55.  . 2.56.  . 2.57.  . 2.58.  . 2.59.  . 2.60.  . 2.61.  . 2.62. . 2.63. . 2.64. . 2.65. . 2.66. . 2.67. . 2.68. . 2.69. . 2.70. . 2.71. . 2.72.  . 2.73.  . 2.74. . 2.75. . 2.76. . 2.77.  . 2.78.  . 2.79.  .

2.80.  .  2.81.  . 2.82.  .   2.83.  . 2.84.  . 2.85. . 2.86. . 2.87. . 2.88. . 2.89. . 2.90.  .