2.4. Вычисление объёмов

Объём тела по известным поперечным сечениям. Если объём тела существует и , где , есть площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной к оси в точке , то

. (2.10)

Объём тела вращения. Объём тела, образованного вращением вокруг оси криволинейной трапеции , , где  непрерывная однозначная функция, равен

. (2.11)

В общем случае объём кольца, образованного вращением вокруг оси  фигуры , , где ,  непрерывные неотрицательные функции, равен

. (2.12)

Объём тела, образованного вращением вокруг оси плоской фигуры , , где  непрерывная однозначная функция, равен

. (2.13)

Если функция задана параметрически уравнениями , , , где функция имеет непрерывную неотрицательную производную на и , , а функция непрерывна и неотрицательна на , то объём тела, образованного вращением фигуры вокруг оси , равен

. (2.14)

Если функция убывает и , , то при тех же прочих условиях

. (2.15)

Объём тела, образованного вращением вокруг полярной оси плоской фигуры , , где и  полярные координаты, равен

. (2.16)

Пример 2.13. Найти объем V трехосного эллипсоида (рис. 15).

Решение. Плоскими сечениями данного тела, перпендикулярны­ми, например, оси , являются эллипсы с полуосями и , .

Площадь поперечного сечения в точке нам известна (см. пример 2.4):

.

Поэтому

,

т. е.

.

Если две из полуосей равны друг другу, например , то для объема этого эллипсоида вращения получаем

.

Если все три полуоси равны друг другу, т. е. , то эллип­соид превращается в шар объема

.

Рис. 15

Пример 2.14. Вычислить объем тора («бублика») – тела, полу­ченного в итоге вращения круга вокруг оси, лежащей в той же плоскости и не пересекающей круга.

Решение. Пусть круг радиуса вращается вокруг оси , причем центр его лежит в точке . Уравнением вращаю­щейся окружности будет .

Мы, очевидно, найдем искомый объем, если из объема тела, образо­ванного вращением верхней половины окружности , вычтем объем тела, образованного вращением нижней половины окружности . Имеем

Полагая и вычисляя интеграл, получаем, что

.

Пример 2.15. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси криволинейной трапеции, ограниченной линиями , , (рис. 16).

Рис. 16

Решение. Из уравнения гиперболы , ограничивающей свер­ху данную трапецию, находим выражение для . Тогда по формуле (2.11) получим

Пример 2.16. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси  фигуры, ограниченной параболой , осью и пря­мой (рис. 17).

Рис. 17

Решение. По формуле (2.12) имеем

.

В нашем случае , . Т. к. , то ; следовательно,

.

2.91. Найти объём чердака, основание которого есть прямоугольник со сторонами и , верхнее ребро равно , а высота равна .

2.92. Найти объём обелиска, параллельные основания которого суть прямоугольники со сторонами , и , , а высота равна .

2.93. Найти объём усечённого конуса, основания которого суть эллипсы с полуосями , и , , а высота равна .

2.94. Найти объём параболоида вращения, основание которого , а высота равна .

Найти объёмы тел, ограниченных следующими поверхностями:

2.95. , , .	2.96. , .
2.97. , .	2.98. , .
2.99. , .
2.100. , , , .

Найти объём тела, образованного при вращении вокруг оси фигуры, ограниченной данными кривыми:

2.101. , , .	2.102. , , , .
2.103. , , , .
2.104. , , , .
2.105. , , .	2.106. , , .
2.107. , , .
2.108. , , , .
2.109. , , , .
2.110. , , , .
2.111. , , .
2.112. , , , , .

Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси петли кривой:

2.113. .	2.114. .
2.115. .	2.116. .

Найти объём тела, образованного при вращении вокруг оси фигуры, ограниченной данными кривыми:

2.117. , , .	2.118. , , .
2.119. , , .
2.120. , , .
2.121. , , , .
2.122. , , , .

Найти объём тела, образованного при вращении вокруг оси фигуры, ограниченной данными кривыми:

2.123. , , , , . 2.124. , , , .
2.125. , , .	2.126. , .
2.127. , , , где  заданное число.
2.128. , , .

Найти объём тела, образованного при вращении вокруг полярного луча фигуры, заданной в полярных координатах следующими неравенствами:

2.129. , .	2.130. .
2.131. .	2.132. .
2.133. .	2.134. .
2.135. , .
2.136. , .
2.137. , , где  заданное число.

Найти объём тела, образованного при вращении фигуры, ограниченной данными кривыми: 1) вокруг оси , 2) вокруг оси .

2.138. , , .

2.139. , , , .

2.140. , , .

2.141. Найти объём тела, образованного при вращении фигуры вокруг оси  , ограниченной кривой , , , .

2.142. Найти объём тела, образованного при вращении площади петли кривой , вокруг: 1) оси , 2) оси .

Найти объём тела, образованного при вращении фигуры вокруг оси , ограниченной линиями:

2.143. , .	2.144. , , .
2.145. , , .	2.146. , .
2.147. .	2.148. , .

Найти объём тела, образованного при вращении фигуры вокруг оси , ограниченной линиями:

2.149. , .

2.150. , , .

Ответы: 2.91.  . 2.92.  . 2.93.  . 2.94.  . 2.95.  . 2.96.  . 2.97.  . 2.98. . 2.99. . 2.100.  . 2.101.  . 2.102.  . 2.103.  . 2.104.  . 2.105.  .

2.106.  . 2.107.  . 2.108.  .

2.109.  . 2.110.  . 2.111.  . 2.112.  . 2.113.  . 2.114.  . 2.115.   .

2.116.  . 2.117.  . 2.118.  . 2.119.  .

2.120.  . 2.121.  . 2.122.  .

2.123.   . 2.124. . 2.125. . 2.126. . 2.127.  . 2.128. . 2.129. . 2.130. . 2.131.  . 2.132. . 2.133. . 2.134. . 2.135. . 2.136.  . 2.137.  . 2.138. 1) , 2) . 2.139. 1) , 2)  . 2.140. 1)  . 2.141.  . 2.142. 1)  . 2.143.  . 2.144. . 2.145. а) , б) . 2.146. . 2.147. . 2.148. . 2.149. . 2.150. .