Вопрос 13. Алгебраический критерий устойчивости линейных активных цепей с обратной связью. Частотные критерии устойчивости линейных активных цепей с обратной связью.

Алгебраические критерии устойчивости. Критерий доказан в 1895 г. немецким математиком Адольфом Гурвицем. По данному критерию иссле­дуют коэффициенты характеристического уравнения замкнутой системы.

Чтобы записать уравнение, вначале необходимо найти выражение для передаточной функции замкнутой системы. Пусть и основной элемент и элемент ОС являются цепями с сосредоточенными параметрами и описываются следующими передаточными функциями

Подставив формулы выше в получим характеристическое уравнение системы

Отсюда следует, что система с ОС устойчива, если все корни уравнения

имеют отрицательные действительные части.

В математике многочлены Н(р) с называют многочленами Гурвица. Проанализируем один из множества реальных многочленов Гурвица

с тремя корнями, один из которых действительный и отрицательный, а два других — комплексно-сопряженные с отрицательными вещественными час­тями: . Прямая подстановка корней показывает, что многочлен

содержит все степени переменной р, начиная со старшей, и имеет коэффициен­ты одного знака. Однако рассмотренный признак характеризует лишь необхо­димые условия того, чтобы многочлен относился к многочленам Гурвица.

Полное решение этой задачи нашло отражение в известной теореме Гурви­ца, который звучит так — для того чтобы система была устойчивой, необходимо и достаточно иметь положительными следующие величины:

• коэффициенты a₀ и a_n

• определители многочлена Гурвица от 1-го до n-го порядков, составленные из коэффициентов a₀, a₁, …, a_n-1, a_n характеристического уравнения

• все главные миноры этих определителей.

Главный определитель многочлена Гурвица строится по следующей схеме

Алгебраический критерий устойчивости принято называть критерием Рауса-Гурвица. Раскрывая определители многочлена Гурви­ца, можно получить условия устойчивости для систем различных порядков. Системы 1-го и 2-го порядков устойчивы всегда, так как условия устойчивости для них сводятся к требованию . Для системы 3-го порядка условие устойчивости находят, раскрывая определитель Δ₂:

Если последние неравенства приравнять к нулю, получим условия, при кото­рых система будет находиться на границе устойчивости.

Частотный критерий устойчивости (критерий Найквиста). При исследовании устойчивости анализируют частотный коэффициент передачи усилителя с разомкнутым коль­цом ОС, называемый амплитудно-фазовой характеристикой

Где - модуль коэффициента передачи такого усилителя; -суммарный фазовый сдвиг выходного сигнала, вноси­мый соответственно собственно усилителем и цепью ОС.

АФХ K₁(ω) представляют графически на комплексной плоскости годографом — линией, отражающей зависимость коэф­фициента передачи от частоты (рис). Годограф может быть построен на основании аналитических расчетов, а также снят экспериментально. Это обстоя­тельство выгодно отличает рассматриваемый критерий от всех других. Для по­строения годографа амплитудно-фазовой характеристики в диапазоне усиливаемых частот от -∞ до ∞ вычисляют ее модуль K₁(ω) и аргумент φ_Σ(ω). Оп­ределив, например, для частоты ω_a модуль K₁(ω) и аргумент φ_Σ(ω), проводят из начала координат вектор длиной K₁(ω_a) под углом φ_Σ(ω_a) к действительной оси. Проделав аналогичные операции для дру­гих частот, лежащих в основном вне полосы пропускания усилителя, строят годограф, соединяя линией концы векторов. Устойчивость усилителя опреде­ляют по расположению точки с координатами (1,j0) относительно годографа (рис. 4.39). Если годограф АФХ усилителя с разомкнутым кольцом ОС охватывает точку с координатами (1,j0), то усилитель с замкнутым кольцом ОС неустой­чив. Это условие и является критерием устойчивости Найквиста, или геометри­ческим критерием устойчивости усилителя.

Во всех случаях для усилителей с ОС, представляющих практический инте­рес, модуль коэффициента передачи усилителя с разомкнутым кольцом обрат­ной связи K₁(ω) стремится к нулю с ростом частоты. Поэтому АФХ проходит через начало координат. Кроме того, АФХ замкнута и симметрична относитель­но вещественной оси, поскольку K₁(-ω) = K₁*(ω).

Вопрос №14

Прохождение детерминированных сигналов через линейные цепи. Спектральный метод. Метод интеграла наложения (временной метод) определения выходного сигнала для линейной цепи.

Прохождение детерминированных сигналов через линейные цепи

В радиоэлектронике приходится иметь дело с различными сиг­налами и разнообразными (в основном с инерционными) цепями. При передаче сигналов по таким цепям возникают переходные процессы. Эти процессы оказывают влияние на форму сигналов и, в конечном счете, на содержащуюся в них информацию.

Основные методы анализа прохождения сигналов через радиотехнические цепи:

- для простейших цепей, описываемых дифференциальными урав­нениями не выше второго порядка, задачу обычно решают классическим методом дифференциальных уравнений.

- для сложных цепей значительно более удобными оказываются методы, основанные на спектральном представлении сигнала. К этим методам относятся метод интеграла Фурье и связанный с ним операторный метод (преобразования Лапласа).

- метод интеграла наложения, основанный на представлении сигнала в виде суммы импульсов (или скачков).

Спектральный метод

В основе этого метода лежит использование передаточной функции цепи K (iω).

Если на входе линейного четырехполюсника действует сигнал произвольной формы в виде э. д. с. е(t), то, применяя спектральный метод, следует определить спектральную плотность входного сигнала Е(ω). Умножением Е(ω) на К(iω) получаем спект­ральную плотность сигнала на выходе четырехполюсника. Применяя к произведению Е(ω) К(iω) обратное преобразование Фурье , определяем выходной сигнал в виде функции времени.

Таким образом, если входной сигнал записан в виде интеграла

то выходной сигнал можно представить в аналогичной форме

Сравнение этих выражений показывает, что сигнал на выходе линейной цепи можно получить суммированием спектра Е(ω) входного сигнала с весом К(iω). Иными словами, передаточ­ная функция цепи К(iω) является весовой функцией, опре­деляющей относительный вклад различных составляющих спектра Е(ω) в сигнал u(t).

Ана­лиз переходных процессов значи­тельно упрощается при представ­лении как внешней силы, так и передаточной функции цепи в виде преобразований Лапласа.

Метод интеграла наложения (временной метод) определения выходного сигнала для линейной цепи

Вместо разложения сложного сигнала на гармонические сос­тавляющие (спектральный метод) можно воспользоваться разбие­нием сигнала на достаточно короткие импульсы (рис. 1).

Рис. 1. Пояснение метода инте­грала наложения.

Если в основе спектрального метода лежит передаточная функ­ция цепи К(iω), то метод интеграла наложения базируется на им­пульсной характеристике цепи g (t).

Пусть требуется найти сигнал s_вых(t) на выходе цепи, если задан сигнал s (t) на входе цепи и извест­на ее импульсная характеристика g(t). Для уяснения сути метода интеграла наложения поступим следующим образом. Разобьем про­извольный сигнал s (х) на эле­ментарные импульсы, как это по­казано на рис. 1, и найдем от­клик цепи в момент t на элементарный импульс (на рис. 1 зашт­рихован), действующий на входе в момент х. Если бы площадь этого импульса равнялась единице, то импульс можно было бы рассматривать как дельта-функцию, возникшую в момент х. При импульсной характеристике цепи g (х) отклик в момент t был бы равен g(t-x).

Интеграл, стоящий в правой части этого выражения, в математике называется сверткой функций s (t) и g (t).Таким образом, приходим к следующему важному положению: сигнал s_вых(t) на выходе линейной цепи является сверткой входного сигнала s(t) с импульсной характеристикой цепи g (t).

Сигнал на выходе цепи s_вых(t) в момент t получается суммированием мгновенных значений вход­ного сигнала s (t) с весом g (t — х) за все предыдущее время.

В данном случае при суммировании мгновенных значений входного сигнала s (t) весовой функцией является импульсная характеристики цепи, взятая с аргументом (t — х), т. е. функция g(t— х).