Уравнение Бернулли

Его общий вид: . Данное уравнение отличается от линейного тем, что в правую часть входит множителем некоторая степень функции . Решается оно так же, как и линейное. Посредством подстановки сводится к двум уравнениям с разделяющимися переменными.

2.2 Дифференциальные уравнения второго порядка Уравнения, допускающие понижение порядка

Рассмотрим три типа дифференциальных уравнений второго порядка, которые легко приводятся к уравнениям первого порядка.

I тип: ( 1)

Правая часть уравнения не содержит функции и производной . Известно, что .

Следовательно, данное уравнение можно записать так:

Интегрируя последнее уравнение, получим:

Интегрируя еще один раз, получим общее решение уравнения (1):

Пример: Найти частное решение уравнения удовлетворяющее начальным условиям:

Решение. Так как то данное уравнение можно записать так:

Интегрируя, получим:

(*)

Тогда - общее решение заданного уравнения. Используем начальные условия. Подставив в общее решение получим Подставив в (*) будем иметь

Следовательно, – искомое частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям. Геометрически найденное частное решение выражает собой интегральную кривую, которая проходит через точку Кроме того, касательная , проведенная к этой кривой в точке , образует с положительным направлением оси угол, тангенс которого равен 3.

II тип: (2)

Правая часть уравнения не содержит явным образом функции у. Чтобы решить уравнение (2) положим где р- некоторая функция аргумента . Тогда и уравнение (2) станет уравнением первого порядка относительно переменных и :

Если общее решение последнего уравнения есть то повторно интегрируя. получим:

общее решение заданного уравнения (2).

Пример: Найти общее решение уравнения

Решение. Правая часть заданного уравнения не содержит явным образом функцию y. Положим тогда Имеем:

Интегрируя последнее уравнение, получим: Так как

Интегрируя еще раз, получим общее решение заданного уравнения:

III тип: (3)

Правая часть уравнения не содержит явным образом аргумента х. Чтобы решить (3), положим и будем считать р некоторой функцией от у. Выразим через производную от р по у. Применяя правило дифференцирования сложной функции, будем иметь:

Итак, (4)

Подставив в уравнение (3) вместо произведение , получим дифференциальное уравнение первого порядка относительно переменных и :

(5)

Если ) есть общее решение (5), то получаем уравнение с разделяющимися переменными относительно переменных и . Тогда и есть общий интеграл заданного уравнения (3).

Пример: Найти частное решение уравнения удовлетворяющее начальным условиям

Решение. Данное уравнение не содержит явным образом аргумент x . Пусть некоторая функция от у. Тогда и заданное уравнение примет вид:

Приравняв к нулю первый сомножитель, получаем откуда Это решение не удовлетворяет условиям задачи, так как по условию угловой коэффициент касательной, проведенной к искомой кривой в точке О (0,0), равен 2.

Приравняв нулю второй сомножитель и разделив переменные, получаем

Интегрируя последнее уравнение, получим

Так как

Интегрируя это уравнения, получаем: - общий интеграл уравнения. Используем начальные условия. Так как у(0) = 0, то из (**) получаем , по условию следовательно, из (*) получаем

Таким образом, имеем: искомое частное решение.