5. Кернеулердің шоғырлануы

ТІК КЕРНЕУДІ АНЫҚТАУ

Ию моменті — арқалықтың көлденең қимасындағы ішкі тік кернеулердің қорытынды моменті. Тік кернеулердің шамасы мен қима бетіндегі таралу заңдылығын анықтау үшін таза иілген арқалықты қарастырайық (VIII.15, а-сурет).

Есептің статикалық жағы. Таза иілген арқалықтың кез келген көлденең қимасында ию моментінен басқа ішкі күштер нөлге тең. Ию моменті ішкі күштердің қорытынды моменті болғандықтан, көлденең қимада (т —т) жатқан кез келген нүктеде тек қана тік кернеу әсер етеді. Қима жазықтығынан бөлініп алынған шексіз кіші аудандағы (dҒ) кернеулердің қорытыңды күші мен Ү және X осіне қарағандағы моменттерін анықтайық (VIII. 15, б-сурет)

осыдан

Арқалық таза иіліп деформацияланғанда

демек,

VIII. 09

Статикалық теңдіктер кернеудің шамасы мен қима бетіңдегі таралу заңдылығын анықтауға жеткіліксіз. Сондықтан, есеп бір рет статикалық анықталмаған.

Есептің геометриялық жағын қарастырайық. Ол үшін берілген арқалықтың бетіне, бойлық оське параллель және көлденең сызықтар жүргіземіз (VIII.16,а-сурет). Деформацияға дейінгі т— т, п—п түзу сызықтары деформациядан кейін өзара dφ бұрышына бұрылып, түзу күйінде қалады. Демек, деформацияға дейінгі жазық қималар деформациядан кейін де арқалықтың бойлық талшықтарына перпендикуляр жазық күйінде калады.

Деформацияға дейін арқалықтың өзара тең ab, dc,ef талшықтары деформациядан кейін шеңбер доғасы бойынша иіліп, ef қысқарады (сығылады) да, ab ұзарады (созылады), ал dc талшығының ұзындығы өзгермейді (VIII.16,б-сурет). Арқалықтың ұзындығы өзгеріссіз қалатын талшықтарының геометриялық орны бейтарап жазықтық деп, ал бейтарап жазықтықтың кез келген көлденең қимамен қиылысу сызығы, қиманың бейтарап сызығы деп аталады (VIII.16, в-сурет).

Деформациядан кейін бейтарап жазықтықта жатқан dc талшығы радиусы ρ-ге тең, ал аb талшығы радиусы ρ + у-ке тең доғаларға айналады.

аb талшығының салыстырмалы созылуы

мүндагы ab₁ = (ρ + у)dφ, ал ab=dz болғандықтан

VIII.10

Бейтарап жазықтықта жатқан dc=dz талшығы деформациядан кейін шеңбердің доғасы бойынша иіліп, ұзындығы өзгермейді

VIII.11

Олай болса, (VIII.10) теңдігін (VIII.11) теңдігіне енгізіп

VIII.12

екенін көреміз.

Яғни талшықтың салыстырмалы бойлық деформациясы оның бейтарап оське дейінгі ара қашықтығына тура пропорционал.

Енді есептің физикалық жағын қарастырайық. Көлденең қимада жанама кернеу жоқ болғандықтан, жанама кернеулердің жұптық заңы бойынша, ол бойлық қималарда да жоқ. Сондықтан, бойлық талшықтар өзара әсерлеспейді деп қарастыруға болады. Олай болса, ab талшығы сызықтық кернеулі күйде. Сызықтык кернеулі күй үшін Гук заны .

Енді синтез жасайық. Гук заңына (VIII.12) теңдігін енгізіп

VIII.13

кернеу қарастырылған нүкте мен бейтарап осьтің ара қашықтығына (у) тура пропорционал өзгеретінін көреміз. Бейтарап осьте жатқан нүктедегі кернеулер нөлге тең, ал қиманың ең жоғарғы және ең төменгі нүктелерінде ең үлкен кернеулер әсер етеді (VIII.16, в-сурет).

Статикалық (VIII.09) теңдеуіне (VIII.13) теңдігін енгізіп

ал теңдіктегі интеграл — қиманың X осіне қарағандағы осьтік инерция моменті екенін ескерсек,