VIII.14

Мұндағы ЕІ_Х — арқалықтың қатандығы, - арқалықтың қисықтығы.

Гук заңынан (VIII.13)

VIII.15

яғни

немесе VIII.16

Соңғы формула таза иілген арқалықтың көлденең қимасында жатқан кез келген нүктедегі тік кернеуді анықтауға мүмкіңдік береді.

Енді (VIII.16) формуласын (VIII.09) теңдеулеріне кезекпен енгізейік:

1. Болғандықтан

Бұл интеграл — қиманың бейтарап оське қарағандағы статикалық моменті. Статикалық момент нөлге тең болғандықтан, бейтарап ось қиманың ауырлық центрі арқылы өтіп, X осінің үстінде жатады.

2. Болғандықтан

Бұл интеграл — қиманың Х, Ү осьтеріне қарағандағы центрден тепкіш инерция моменті. Центрден тепкіш инерция моменті нөлге тең болғандықтан X, Ү осьтері басты, ал сыртқы момент басты Ү осі арқылы өтетін жазықтықта әсер етуі тиіс. Демек, жазық иілуде Ү осімен сәйкес келетін сыртқы күштердің әсер ету сызығы мен бейтарап сызық өзара перпендикуляр.

Теориялық және тәжірибе жүзіндегі зерттеулердің нәтижелеріне қарағанда, (VIII.16) формуланы көлденең жазық иілген арқалықтар үшін де колдануға болады.

ТІК КЕРНЕУ БОЙЫНША БЕРІКТІККЕ ЕСЕПТЕУ ШАРТЫ

Иілген арқалықтың беріктігін тексеру үшін М(z) эпюрі, тұрғызылып, қауіпті қимасы анықталады.

Қауіпті қима деп, ию моменттерінің (абсолюттік шамасы) ең үлкені (М_мах) әсер етіп тұрған қиманы айтады. Қауіпті қимадағы қауіпті кернеу

мұндағы у_тах — бейтарап осьтен ең шеткі нүктеге дейінгі ара қашықтық; — геометриялық сипаттама, осьтік кедергілер моменті деп аталады.

Созу мен сығуға бірдей қарсыласатын пластикалық материалдар үшін тік кернеу бойынша беріктік шарты

VIII.17

Созу мен сығуға қарсыласу қабілеті әр түрлі морт материалдардың беріктігі ең үлкен созушы және сығушы тік кернеулер бойынша есептеледі.

Созушы тік кернеу бойынша беріктік шарты

VIII.18

Сығушы тік кернеу бойынша беріктік шарты

VIII.19

мұндағы , - созылған және сығылған талшықтар үшін анықталатын кедергілер моменті.

а) Дөңгелек пішінді қима үшін

б) Тіктөртбұрышты қима үшін

Прокатты қималар үшін -тің мәндері кітаптың соңында арнайы сортамент кестелеріңде берілген.

Иілген арқалықтың көлденең қимасының өлшемдері мен жүк көтеру қабілеті беріктік шартынан анықталады

ЖАНАМА КЕРНЕУДІ АНЫҚТАУ

Жалпы жағдайда, жазық иілген арқалықтың қималарында жанама күштер мен ию моменттері пайда болады. Жанама күш — қимадағы жанама кернеулердің қорытынды күші. Жанама кернеудің жұптық заңы бойынша, дәл осындай жанама кернеулер бойлық қималарда да пайда болады.

VIII.21

Орыстың көрнекті ғалымы Журавский Д. И. қорытып шығарған Бұл формула Журавскийдің формуласы деп аталады. Мұндағы b — бейтарап осьтен z-ке тең қашықтықтағы қима ені.

Жанама күштің анықталған мәндері бойынша тұрғызылған эпюрі VIII.2-суретте көрсетілген.

Дөңгелек қима бейтарап осьтің бойында жатқан нүктелер үшін .

ИІЛГЕН АРҚАЛЫҚТЫҢ БЕРІКТІГІН ТОЛЫҚ ТЕКСЕРУ

Иілген арқалықтың беріктігін толық тексеру таза ығысқан үшінші алемент үшін

Екінші элемент бойынша арқалықтың беріктігін есептеу үшін, оның басты кернеулерін анықтаймыз:

.

Басты кернеулерді беріктік теориясының беріктік шарттарының біріне енгізіп, арқалықтың беріктігі тексеріледі.

Төменде, екінші элемент үшін классикалық төрт теорияның беріктік шарттары жазылған

Теория және тәжірибе жүзінде зерттеулердің нәтижелеріне қарағанда, иілген арқалықтың шеткі талшықтарының бойында жатқан сызықты кернеулі күйдегі элементтер — ең қауіпті элементтер.

КЕРНЕУЛЕРДІҢ ШОҒЫРЛАНУЫ

Арқалықтың көлденен қима контурлары кілт өзгеретін, әр түрлі ойықтары бар, т. б. жерлерінің кернеулерді шоғырландыруы серпімділік теориясының әдістерімен анықталатын теориялық шоғырлану немесе тәжірибе жүзінде анықталатын тиімділік коэффициенттерімен (k_т) ескеріледі

мұндағы — шоғырландырғышы жоқ иілген арқалықтың беріктік шегі, — шоғырландырғышы бар иілген арқалықтың беріктік шегі.

9-ДӘРІС.ИІЛУ КЕЗІНДЕГІ ИІЛУ МӨЛШЕРІН ЖӘНЕ БҰРЫЛУ БҰРЫШЫН

ТАБУ.

1. ИІЛУ ДЕФОРМАЦИЯЛАРЫ

2. ИІЛГЕН ӨСІНІҢ ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУІ

3. ИІЛУ ОСІНІҢ ӘМБЕБАП ТЕҢДЕУІ (Бастапқы параметрлер әдісі)

4. ИІЛУ ДЕФОРМАЦИЯСЫНЫҢ ПОТЕНЦИАЛДЫҚ ЭНЕРГИЯСЫ

5. ДЕФОРМАЦИЯНЫ ЭНЕРГЕТИКАЛЫҚ (ЖАЛПЫ) ӘДІСТЕРМЕН АНЫҚТАУ

ИІЛУ ДЕФОРМАЦИЯЛАРЫ ИІЛУ ОСІНІҢ ӘМБЕБАП ТЕҢДЕУІ (Бастапқы параметрлер әдісі)

Егер арқалық екі аралықтан тұрса, бұрылу бұрышы мен иілу мөлшерлерін анықтау үшін төрт теңдеуді шешу керек екендігін жоғарғы мысалда көрсеттік. Дәл сол сияқты, n аралығы бар арқалықты қарастырсақ, бұрылу бұрыштары мен иілу мөлшерлерін анықтау үшін 2n теңдеулерді бірге шешуге тура келер еді. Егер қарастырылып отырған арқалықтың қатаңдығы өне бойында тұрақты болса, бұл қиыншылықтан оңай құтылуға болады екен. Ол үшін

а) Координата жүйесінің бас нүктесі ретіңде арқалықтың сол ұшын қабылдап, Ү осін жоғары, Z осін солдан оңға қарай бағыттайды (ІХ.4-сурет),

б) Кез келген қимадағы ию моментінің өрнегін құрғанда координата жүйесінің бас нүктесі мен сол қиманың арасындағы сыртқы күштер міндетті түрде түгел ескерілуі тиіс.

в) Ию моментінің өрнегіндегі сыртқы момент, бірге тең (z — а)° көбейткішіне кебейтіледі.

г) Белгілі бір заңдылықпен үздіксіз таралған күш z-тің қандай да бір мәнінде үзілсе (мысалы, z = е), онда оны қарастырылған қимаға дейін сол заңдылықпен, өзара тең, бағыттары қарама-қарсы таралған күштермен жалғастыру керек (ІХ.4-сурет).

Барлық аралықтардың серпімді сызық теңдеулері жақшалары ашылмай интегралданады.

Мұндағы у₀, θ_о — бастапқы параметрлер; у_о — серпімді сызығының координата жүйесінің басындағы иілу мөлшері; Ө_о — иілу осіне, координата жүйесінің бас нүктесі арқылы жүргізілген жанама мен абсцисса осінің арасындағы бұрыш.

Арқалықтың I... V аралықтарының бұрылу бұрыштары мен иілу мөлшерлерін өрнектейтін он теңдеуді төменгі екі теңдеуге келтіруге болады

Бұл теңдеулер иілу осыерінің әмбебап теңдеулері деп аталады.

Арқалыққа бір емес бірнеше қадалған күштер, сыртқы моменттер, таралған күштер әсер етсе, әмбебап теңдеулер келесі түрде жазылады

IX. 07

Сонымен, кез келген қимадағы иілу деформациясының сипаттамалары (Ө,у) сыртқы күштер мен координата жүйесінің бас нүктесіндегі бастапқы параметрлері (Ө₀,у₀) арқылы анықталады. Сондықтан әмбебап теңдеулер бастапқы параметрлер әдісінің теңдеулері деп те аталады.

ИІЛГЕН ӨСІНІҢ ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУІ

Бір ұшы қатаң бекітілген арқалық Р күшінің әсерінен иіледі (IX.1, а-сурет). Иілген стерженьдердің иілу осьтері "Материалдар кедергісі" ғылымында серпімді сызықтар деп аталады. Серпімді сызықтың қисықтығы (VIII. 14) формуласымен анықталады

ал математика курсында мына теңдікпен өрнектелетіні бізге мәлім

IX. 01

Арқалықтың деформациясы серпімді болғандықтан, иілу осіне жүргізілген жанама мен абсцисса осінің арасындағы Ө = у' бұрышы шексіз кіші. Демек, (ІХ.01) теңдігіндегі (у'⁾² шамасы да бірге қарағанда шексіз кіші, яғни = у".

Енді (VIII.14) және (ІХ.01) теңдіктерін салыстырып

IX. 02

серпімді сызықтың теңдеуін аламыз.

Ию моментінің таңбасы координата осыерінін бағытына тәуелсіз, ал теңдіктің сол жағындағы екінші туындының таңбасы — тәуелді. Егер иілген осыің ойыс жағы Ү осінің оң бағытымен сәйкес келсе, екінші туынды оң (IX.1 б-сурет), ал дөңес жағы сәйкес келсе, теріс таңбалы болады (IX. 1, в-сурет). Серпімді сызықтың теңдеуін бір рет интегралдап, көлденең қималардың бұрылу бұрыштарының (у’ = Ө) тендеуін аламыз

IX. 03

мұндағы С — интегралдау тұрақтысы.

Бұрылу бұрышы деп қиманың күш әсеріне дейінгі бұрылмаған жазықтығы мен күш әсерінен кейінгі бұрылған жазықтығының арасындағы бұрышты айтады. Қималардың сағат тілінің бағытына қарсы бағытта бұрылу бұрышы оң, ал сағат тілі бағыты бойымен бұрылу бұрышы теріс таңбалы деп қарастырылады.

Серпімді сызықтың теңдеуін екі рет интегралдап, арқалықтың кез келген қима тұсындағы иілу мөлшерін (Y) өрнектейтін теңдеуді аламыз

IX. 04

мұндағы D — екінші интегралдау тұрақтысы.

Иілу мөлшері деп, қима ауырлық центрінің бойлық оське перпендикуляр бағытта (У осіне параллель) орын ауыстыру шамасын айтады. Ауырлық центрі абсцисса осінен жоғары қарай орын ауыстырса иілу мөлшері оң, ал төмен қарай орын ауыстырса теріс таңбалы деп қарастырылады.

Алынған теңдеулердегі тұрақты шамалар (С, D) арқалықтың бекіту шарттарынан анықталады. Тұрақты шамалар белгілі болса, (ІХ.03, ІХ.04) теңдіктерін пайдаланып, кез келген қиманың бұрылу бұрышы мен иілу мөлшерін анықтауға болады.

ІХ.01-мысал. Бір ұшы қатаң бекітілген арқалықтың екінші ұшындағы (В нүктесі) бұрылу бұрышы мен иілу мөлшерін анықтаңыз (ІХ.2-сурет).

Шешуі. Координата жүйесінің бас нүктесі ретінде арқалықтың оң ұшын (В нүктесі) қабылдап, координатасы z-ке тең қимадағы ию моментінің өрнегін құрайық: Серпімді сызықтың теңдеуі: Бұл теңдеуді бір рет интегралдап, бұрылу бұрыштарының теңдеуін аламыз

Екі рет интегралдап, иілу мөлшерлерінің теңдеуін аламыз

Теңдеулердегі тұрақты шамаларды табу үшін бекіту шарттары пайдаланылады.

1 болғанда, Олай болса, бұрылу бұрыштарының теңдеуінен екені шығады.

2. болғанда, у = 0. Олай болса, иілу мөлшерлерінің теңдеуінен екенін көреміз.

Енді теңдеулерге тұрақты шамалардың мәндерін енгізсек, В нүктесіңдегі (z= 0) бұрылу бұрышы

IX. 05

Бұрылу бұрышы оң таңбалы, демек қиманың бұрылуы сағат тілінің бағытына қарама-қарсы. Иілу мөлшері:

IX. 06

Иілу мөлшері теріс таңбалы, демек қиманың ауырлық центрі абсцисса осінен төмен қарай орын ауыстырады.

Сонымен, арқалықтың иілу деформациясы қималарының бұрылу бұрыштары мен иілу мөлшерлері арқылы сипатталады.

ИІЛУ ДЕФОРМАЦИЯСЫНЫҢ ПОТЕНЦИАЛДЫҚ ЭНЕРГИЯСЫ

Июші момент өзі жатқан қиманы қаңдай да бір бұрышқа бұрып жұмыс жасайды

Ішкі ию моментінің жұмыс шамасы сыртқы моменттердің жұмыс шамасына тең, бағыттары қарама-қарсы

Сол сияқты шамасы dМ-ге тең ішкі моменттің жұмысы

Еңді екеңдігін ескерсек

Сонда иілу деформациясының потенциалдық энергиясы бұлай анықталады

Арқалықтың беріктігіне жанама күштің әсері ию моментіне қарағанда, мардымсыз болғандықтан, иілу деформациясының потенциалдық энергиясын анықтағанда ескерілмейді.

ДЕФОРМАЦИЯНЫ ЭНЕРГЕТИКАЛЫҚ (ЖАЛПЫ) ӘДІСТЕРМЕН АНЫҚТАУ

Сыртқы күш әсерінен жүйе нүктелерінің орын ауыстыру шамаларын (деформацияларын) анықтау — күрделі мәселелердің бірі.

Деформацияларды анықтайтын әдістердің көпшілігі энергияның сақталу заңына негізделген. Сондықтан, олар энергетикалық әдістер деп аталады. Механикада энергетикалық әдістерді жалпы әдістер деп те атайды. Өйткені, бұл әдістермен конструкция элементтерінің кез келген деформацияларын анықтауға болады. Жалпы әдістерді жетік білу үшін сыртқы күштердің жұмысы мен деформацияның потенциалдық энергиясымен тереңірек танысайық.

Сыртқы күштер жұмысы. Деформациялық потенциалдық энергиясы

Конструкция элементі уақытқа байланысты баяу өзгеретін сыртқы күштің әсерінен тепе-теңдік күйін жоғалтпаса, онда күштің жұмысы деформацияның потенциалдық энергиясына айналады.

Деформацияның потенциалдық энергиясын U, ал сыртқы күштің жұмысын А_р арқылы белгілейік. Энергияның сақталу заңы бойынша

U = A_p

Деформацияның потенциалдық энергиясына, теріс таңбалы ішкі күштің жұмысы сәйкес келеді.

U = –A_ik немесе А_р = – A_ik осыдан А_р + А_ik = 0 екенін көреміз.

Өткен ІІІ.6, VІ.2, VІІ.4, VШ.11-параграфтары бойынша деформациялардың потенциалдық энергиялары:

Созу деформациясы үшін (ІХ.6, а-сурет);

мұндағы ∆ l— күш әсер етіп тұрған қиманың орын ауыстыруы.

Ығысу деформациясы үшін (ІХ.6, б-сурет)

мұндағы ∆s— көлденең күш әсер етіп тұрған қиманың орын ауыстыруы.

Бұралу деформациясы үшін (ІХ,6, в-сурет)

мұндағы φ — айналдырушы момент әсер етіп тұрған қиманың бұралу бұрышы.

Иілу деформациясы үшін (ІХ.6, г-сурет)

мұндағы Ө — сыртқы июші момент әсер етіп тұрған қиманың бұрылу бұрышы.

Теңдеулердің оң жақтарындағы - коэффициенттері сыртқы күштердің нөлден бастап қандай да бір шамасына дейін баяу өсетін статикалық күштер екенін көрсетеді.

Жүйеге көп күштер әсер еткенде деформацияның потенциалдық энергиясы Клапейрон формуласымен анықталады

яғни бірнеше жалпылама күштер әсерінен жүйеде пайда болған деформацияның потенциалдық энергиясы, жалпылама орын ауыстырулар мен жалпылама күштердің көбейтінділерінің қосындыларының жартысына тең.

Дәл осылай, бірнеше моменттер немесе т. б. күштер әсер еткен жүйелер үшін деформациясының потенциалдық энергиясын анықтауға болады.