2.1. Геометрическое подобие

Геометрическими величинами называются величины, пропорциональные произведению нескольких (возможно, одной) длин. Геометрическая величина имеет вид

,

где – рассматриваемая геометрическая величина; –коэффициент пропорциональности; – длина; – целое число.

К геометрическим величинам относятся: длины ; площади ; объёмы ; статические моменты длины ; статические моменты площади ; статические моменты объёма ; моменты инерции длины ; моменты инерции площади ; моменты инерции объёма и т. п.

Обозначим систему тел и ограниченный этими телами поток жидкости в одном явлении через , а в другом – через . Пусть в рассматриваемых явлениях жидкость движется относительно систем отсчета и соответственно. Эти системы неподвижны относительно некоторой основной системы отсчета. Тела, ограничивающие потоки жидкости, в общем случае могут двигаться относи­тельно тех же систем отсчета.

Обозначим через систему, состоящую из системы отсчета и системы , а через – систему, состоящую из системы отсчета и системы .

Две системы и называются геометрически подобными, если между точками этих систем можно установить взаимно однозначное соответствие так, чтобы соответственные отрезки находились в постоянном отношении:

.

(2.1)

Если две системы (см. рис. 1) гео­метрически подобны, то

,

откуда следует, что углы между соответственными отрезками равны и какая-либо фигура, составленная из точек первой системы, подобна геометрической фигуре, образованной точками второй системы.

Исходя из утверждения о том, что в геометрически подобных телах любая безразмерная комбинация, составленная из размерных величин, не изменяется, можно записать следующее равенство:

,

где и – соответственные площади подобных систем.

Из этого уравнения получим

.

Таким образом, в геометрически подобных телах соответственные площади относятся как квадраты линейных размеров.

Аналогичным образом для отношений других геометрических величин в геометрически подобных телах находят следующие результаты:

отношение длин – ;

отношение площадей – ;

отношение объёмов – ;

отношение статических моментов длины – ;

отношение статических моментов площади – ;

отношение статических моментов объёма – ;

отношение моментов инерции длины – ;

отношение моментов инерции площади – ;

отношение моментов инерции объёма – .

2. Кинематическое подобие

Явления в опыте и натуре называются кинематически по­добными, если при наличии геометрического подобия картин те­чения жидкости (картин линий тока) будет одинаковым отноше­ние промежутков времени, за которые частицы жидкости в опыте и натуре проходят любые сходственные отрезки пути, т.е.

, (4.2)

где t' - промежуток времени, за который частица жидкости в опыте пройдет отрезок пути ;

t - промежуток времени, за который частица жидкости в натуре пройдет сходственный отрезок пути .

Следовательно, при наличии кинематического подобия яв­лений в опыте и в натуре в любых сходственных точках вектора скоростей, а также вектора ускорений частиц жидкости будут коллинеарны. При этом отношение величин скоростей в любых сходственных точках в опыте и в натуре будет одинаковым, от­ношение величин ускорений в этих точках также будет одинако­вым. Действительно, если имеет место кинематическое подобие, то из (4.1) и (4.2) следует, что

Т.к. под и можно подразумевать сходственные малые отрезки пути, которые проходят частицы жидкости в опыте и в натуре за пропорционально малые промежутки времени, то

и ,

отсюда

, , (4.3)

здесь v' - величина скорости в некоторой точке в опыте;

v - величина скорости в сходственной точке в натуре.

Рассматривая ускорения в сходственных точках в опыте и в натуре, заметим, что отношение величин ускорений равно отношению величин проекций этих ускорений, например, на нор­маль к траекториям движения частиц жидкости . Значит,

,

но

, ,

где г и - радиусы кривизны траекторий в сходственных точках опыта и натуры.

Отсюда

Т.к. имеет место геометрическое подобие

,

то

, (4.4)

Это же можно было бы показать, рассматривая отношение величин проекций ускорения на касательную к траекториям дви­жения частиц. Наглядный пример кинематического подобия яв­лений представляет демонстрация одного и того же кинофильма на разных по величине экранах, как с одинаковой, так и с разной скоростью движения лент в кинопроекционном аппарате.